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| Aufgabe | Seien K ein Körper, V, W zwei endlich dimensionale K-Vektorräume, a [mm] \in [/mm] End(V) und b [mm] \in [/mm] End(W). Beweisen Sie folgende Eigenschaft:
[mm] det(a\otimes [/mm] b) = [mm] det(a)^{dimW}* det(b)^{dimV} [/mm] |
Ich glaube ich habe bereits einen Teil der Lösung:
Seien A, B die darstellenden Matrizen zu a und b aus der Aufgabenstellung. Sei dimV = n und dimW = m.
Annahme: Es existiert eine Basis von V so dass A eine obere Dreiecks-Matrix ist. Dann:
A [mm] \otimes [/mm] B = [mm] \pmat{ a_{11}*B &\* \\ 0 & a_{nn}*B } [/mm] (Darstellung nicht ganz korrekt, weiss nicht wie darstellen die [mm] a_{ij}*B [/mm] sind auf der Diagonalen)
det(A [mm] \otimes [/mm] B) = [mm] det(a_{11}*B)*....*det(a_{nn}*B) [/mm] = [mm] ((a_{11})^{m}*..*(a_{nn})^{m})*det(B)^{n} [/mm] = [mm] det(A)^{m}*det(B)^{n}
[/mm]
Mein Problem ist nun, dass ich eine Annahme getroffen habe und das Ganze somit nicht für den allgemeinen Fall bewiesen ist..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo.
Ich musste die selbe Aufgabe lösen und hatte eigentlich das Selbe Problem. Zuerst habe ich es mit der Dreiecksmatrix probiert und bin nicht weiter gekommen...
Nur als Tipp: Versuche die Lösung mit der Jordan-Normalform zu finden, dann sollte es gehen! Der Ansatz ist richtig..
Grüsse
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:23 Mi 13.05.2009 | | Autor: | schneehasi6 |
hmmm.. irgendwie komm ich nicht weiter.. die Jordan-Normalform ist nicht so mein Freund.. hab rumgerechnet aber kam nix schlaues dabei raus.. hast du schon alles durchgerechnet oder ist es mehr eine Idee wie es gehen müsste?
andere Frage: bist du demnach auch an der Uni Zürich? wenn ja wer bist du? 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Do 14.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Nur als Tipp: Versuche die Lösung mit der Jordan-Normalform
> zu finden, dann sollte es gehen! Der Ansatz ist richtig..
Wieso darf ich annhemen, dass die Matrix eine JNF besitzt, dh der Körper algebraisch abgeschlossen ist?
SEcki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Do 14.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Annahme: Es existiert eine Basis von V so dass A eine
> obere Dreiecks-Matrix ist. Dann:
Kann man das immer annhemen, dass A bzgl. einer Basis so darstellbar ist? Unten wurde ja noch der Tip mit der JNF gegeben - da weiß ich nicht so recht, denn dazu müsste der Grundkörper algebraisch abgeschlossen sein.
> A [mm]\otimes[/mm] B = [mm]\pmat{ a_{11}*B &\* \\ 0 & a_{nn}*B }[/mm]
> (Darstellung nicht ganz korrekt, weiss nicht wie darstellen
> die [mm]a_{ij}*B[/mm] sind auf der Diagonalen)
> det(A [mm]\otimes[/mm] B) = [mm]det(a_{11}*B)*....*det(a_{nn}*B)[/mm] =
> [mm]((a_{11})^{m}*..*(a_{nn})^{m})*det(B)^{n}[/mm] =
Ja, wenn man A so darstellen kann - warum kann man dann [m]A\otimes B[/m] so wie du es gemacht hast darstellen?
> [mm]det(A)^{m}*det(B)^{n}[/mm]
>
>
> Mein Problem ist nun, dass ich eine Annahme getroffen habe
> und das Ganze somit nicht für den allgemeinen Fall bewiesen
> ist..
Ja, da sehe ich auch ein Problem. Ich würde es so anpacken: es gilt [m]det(A\otimes B)=det(A\otimes E) det(E\otimes B)[/m]. Jetzt stelle ich zB [m]A\otimes E[/m] bzgl. der Basis [m]e_i\otimes f_j[/m] dar. Für festes [m]f_j[/m] kommt dabei quasi A heraus - also insgesamt [m]dim(W)[/m] oft A heraus. Das müsste man sich noch sauberer überlegen und hinschreiben, aber vielleicht kannst du mit der Idee was anfangen.
SEcki
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ich hab jetzt mal abgegeben, was ich hatte...mit dem Vermerk, dass noch was fehlt
wenn du willst kann ich dir die besprochene Lösung kommenden Dienstag schicken..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Do 14.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> ich hab jetzt mal abgegeben, was ich hatte...mit dem
> Vermerk, dass noch was fehlt
> wenn du willst kann ich dir die besprochene Lösung
> kommenden Dienstag schicken..
Also ich hab für mich eine gute Lösung gefunden, aber sicher ist es ganz gut, noch eine andere hier im Thread zu haben.
SEcki
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