Tensorprodukt < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:13 Mi 02.07.2014 | | Autor: | Gina2013 |
| Aufgabe | | Seien K ein Körper, [mm] V=K^{2}, E=(e_{1},e_{2}) [/mm] die Standardbasis von [mm] K^{2}, f,g\in End_{k}(V) [/mm] und A = darstellende Matrix bez. f, B ist darstel. Martix bez. g. Man bestimme die darstellende Matrix von [mm] f\otimes [/mm] g der bez. der [mm] Basis=(e_{1}\otimes e_{1}, e_{1}\otimes e_{2}, e_{2}\otimes e_{1}, e_{2}\otimes e_{2} [/mm] |
Hallo liebe Leute und Helfer, mit dem Thema bin ich gar nicht so vertraut und möchte durch ihre Hilfe es verstehen.
Ich weiß nicht wie ich erst die Basis B aus den Tensoren schreiben könnte.
[mm] e_{1}=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] e_{1}\otimes e_{1}=?
[/mm]
Wie mache ich aus dem Einheitsvektor den Tensor?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Mi 02.07.2014 | | Autor: | hippias |
Du musst Dich auf jeden Fall mit den Begriffen vertraut machen. Lies in einem Buch und/oder in Deinem Skript nach, wie aus VRaeumen $V$ und $W$ der VR [mm] $V\otimes [/mm] W$ konstruiert wird. Schreibe hier, wie es funktioniert. Du wirst feststellen, dass man Ausdruecke wie [mm] $e_{1}\otimes e_{1}$ [/mm] gar nicht weiter aufzuschluesseln braucht. Fuer Dich wichtiger wird sein, wie die Abbildung [mm] $f\otimes [/mm] g$ erklaert ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mi 02.07.2014 | | Autor: | Gina2013 |
f [mm] \otimes [/mm] g : V [mm] \otimes [/mm] W [mm] \to V'\otimes [/mm] W´
mit (f [mm] \otimes [/mm] g)(v [mm] \otimes [/mm] w) = f(v) [mm] \otimes [/mm] g(w), so ist das definiert.
Wäre dann [mm] f(e_{1})= a_{11}e_{1}+a_{21}e_{2},
[/mm]
[mm] f(e_{2})= a_{12}e_{1}+a_{22}e_{2},
[/mm]
[mm] g(e_{1})=b_{11}e_{1}+b_{21}e_{2},
[/mm]
[mm] g(e_{2})=b_{12}e_{1}+b_{22}e_{2}?
[/mm]
und danach f [mm] \otimes g(e_{1} \otimes e_{1})=f(e_{1})\otimes g(e_{1})=a_{11}b_{11}(e_{1} \otimes e_{2})+a_{11}b_{21}(e_{1} \otimes e_{2})+a_{21}b_{11}(e_{1} \otimes e_{2})+a_{21}b_{21}(e_{1} \otimes e_{2}) [/mm] und so für die weiteren drei? Oder ist das falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Mi 02.07.2014 | | Autor: | hippias |
> f [mm]\otimes[/mm] g : V [mm]\otimes[/mm] W [mm]\to V'\otimes[/mm] W´
> mit (f [mm]\otimes[/mm] g)(v [mm]\otimes[/mm] w) = f(v) [mm]\otimes[/mm] g(w), so ist
> das definiert.
> Wäre dann [mm]f(e_{1})= a_{11}e_{1}+a_{21}e_{2},[/mm]
> [mm]f(e_{2})= a_{12}e_{1}+a_{22}e_{2},[/mm]
>
> [mm]g(e_{1})=b_{11}e_{1}+b_{21}e_{2},[/mm]
> [mm]g(e_{2})=b_{12}e_{1}+b_{22}e_{2}?[/mm]
> und danach f [mm]\otimes g(e_{1} \otimes e_{1})=f(e_{1})\otimes g(e_{1})=a_{11}b_{11}(e_{1} \otimes e_{2})+a_{11}b_{21}(e_{1} \otimes e_{2})+a_{21}b_{11}(e_{1} \otimes e_{2})+a_{21}b_{21}(e_{1} \otimes e_{2})[/mm]
> und so für die weiteren drei? Oder ist das falsch?
Das ist genau richtig. Danach stellst Du die Matrix bezueglich des gegebenen Basistupels auf.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mi 02.07.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Super, vielen Dank hippias!
Wäre dann [mm] B=\pmat{ a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} \\ a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} & a_{22}b_{11} & a_{22}b_{12} \\ a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} & a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22} } [/mm] eine Basis von f [mm] \otimes [/mm] g von V [mm] \otimes [/mm] W?
Mehr ist da nicht zu machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:47 Do 03.07.2014 | | Autor: | hippias |
Du hast die Aufgabe - dies sei nebenbei bemerkt: ohne Hilfestellung - gut geloest ...
> Super, vielen Dank hippias!
> Wäre dann [mm]B=\pmat{ a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} \\ a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} & a_{22}b_{11} & a_{22}b_{12} \\ a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} & a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22} }[/mm]
> eine Basis von f [mm]\otimes[/mm] g von V [mm]\otimes[/mm] W?
... nur dieser Satz ergibt keinen Sinn und hat auch nichts mit der Fragestellung zu tun.
> Mehr ist da nicht zu machen?
Ein bischen mehr Selbstvertrauen bitte! Uebrigens koennte man die gesuchte Matrix in folgender Kurzschreibweise [mm] $\pmat{ A_{11}B & A_{12}B \\ A_{21}B & A_{22}B }$ [/mm] angeben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:53 Do 03.07.2014 | | Autor: | hippias |
Zur Kurzschreibweise siehe Kronecker-Produkt.
|
|
|
|
