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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 So 27.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Es seien V,W endlich dimensionale K-VR und V^* der Dualraum zu V.
Für w[mm]\in[/mm]W und [mm]\lambda \in V^*[/mm] sei [mm]\phi_{\lambda,w}: V \to W[/mm] mit [mm]\phi_{\lambda,w}(v) := \lambda(v)w[/mm] für alle v aus V.
a) [mm]\phi_{\lambda,w}\in Hom_K(V;W)[/mm] - erledigt!
b) [mm]\gamma: V^* \times W \to Hom_K(V,W), (\lambda,w) \to \phi_{\lambda,w}[/mm] ist bilinear. - erledigt!
c) Bild von [mm]\gamma[/mm] enthält eine Basis von [mm] Hom_K(V,W)!
[/mm]
Dazu:
[mm] Hom_K(V,W) [/mm] ist die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W.
Bild [mm]\gamma[/mm] = [mm]\gamma (\lambda,w) = \phi_{lamda,w} = \lambda(v)w[/mm].
Die Bezeichnungen sind mir klar.
Nur wie zeige ich denn die Beh.?
Wie sieht eine Basis denn aus?
d) Es existiert ein Isomorphismus [mm]\phi: V^* \otimes W \to Hom_K(V,W), \phi(\lambda \otimes w) = \phi_{\lambda,w}[/mm].
Also:
In Teil b) habe ich gezeigt, dass [mm]\gamma[/mm] bilinear ist.
Nach Satz der Vorlesung existiert dann eine solche lineare Abbildung.
Es bleibt also zu zeigen, dass die Abbildung ein Isomorphismus ist.
Dazu brauche ich aber den Teil c)!
Bitte um einen Denkanstoss!
Gruss,
Wurzelpi!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 So 27.06.2004 | | Autor: | Feanor |
Hallo,
ich habe leider einige Schwierigkeiten beim Zitieren, daher so
zu (c) In LA I hatten wir einen Satz, daß sich jede lineare Abbildung durch eine Matrix darstellen läßt und umgekehrt. Setzt man z.B [mm] $\dim(V)=n$ [/mm] und [mm] $\dim(W)=m$, [/mm] so sind die Matrizen gerade die aus [mm] $K^{m\times n}$, [/mm] davon kennen wir Basen. Nun mußt Du nur noch die zu jedem Basisvektor gehörige Abbildung durch ein [mm] $\phi_{\lambda, w}$ [/mm] darstellen, dann bist Du fertig.
zu(d) Die Surjektivität von [mm] $\Phi$ [/mm] (oder bei Dir [mm] $\gamma$) [/mm] hast Du ja aus (c), wenn Du jetzt noch über die Dimensionen argumentierst kommst Du auch auf die Injektivität.
Um das ganze dann auf [mm] $\phi$ [/mm] zu übertragen würde ich den Satz zum Tensorprodukt benutzen.
Viele Grüße
Sebastian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 So 27.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Sebastian!
Danke für die schnelle Antwort.
Teil d) der Aufgabe ist mir völlig klar, dass ich mit dem Ergebnis von c) dort weiterkomme.
Nur leider weiss ich nicht so recht, wie ich Deinen Tipp zu c) verwerten soll!
Da musst du mir noch einmal auf die Sprünge helfen!
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Feanor |
Hallo,
> Nur leider weiss ich nicht so recht, wie ich Deinen Tipp
> zu c) verwerten soll!
> Da musst du mir noch einmal auf die Sprünge helfen!
naja ich hoffe mal das was ich mir da gedacht habe ist auch richtig:
Zum Beispiel ist [mm] $B=\{\phi_A:V\to W, M_{B_V}^{B_W}(\phi)=E_{i,j}\in K^{m\times n}\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $Hom_K(V,W)$ [/mm] (falls $dim(v)=n$ und $dim(W)=m$).
Seien [mm] $B_V:=\{v_1,\ldots, v_n\}, B_W:=\{w_1\,\ldots, w_m\}$ [/mm] Basen von $V$ bzw. $W$. Dann gilt ja [mm] $\phi_{E_{i,j}}(v_k)=w_i$, [/mm] falls [mm] $v_k=v_j$ [/mm] und $0$ für die anderen [mm] $v_k$. [/mm] Weiter gilt aber auch [mm] $\Phi(v_j^*, w_i)(v_k)=v_j^*(v_k)*w_i= w_i$ [/mm] für [mm] $v_k=v_j$ [/mm] und $0$ für die anderen [mm] $v_k$ [/mm] (das * bei den [mm] $v_k^*$ [/mm] ist ein wenig schlecht zu sehen!, gemeint sind die Basisvektoren aus der zu [mm] $B_V$ [/mm] dualen Basis).
Damit haben wir aber eine Basis von [mm] $Hom_K(V,W)$ [/mm] gefunden, die im Bild von [mm] $\Phi$ [/mm] liegt.
Viele Grüße
Sebastian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Sebastian!
Mein Problem hat sich erledigt.
Ich habe meinen Fehler gefunden, als ich noch einmal genau die Aufzeichnungen der Vorlesung verfolgt habe.
Dein Ansatz stimmt auf jeden Fall!
Gruss,
Wurzelpi
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Wo keine Frage mehr steht, gibt´s auch keine Antwort.
Weiss leider nicht, wie man den Status im nachhinein ändert!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Joergi |
Hallo Wurzelpi,
ich bearbeite die gleiche Aufgabe wie ihr, aber mir sind leider die Teile a) und b) irgendwie nicht so klar.
Könntest du mir da vielleicht weiterhelfen???????
Danke!!
Gruß Joergi
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Hallo Jörg!
Also, in Teil a) musst Du zeigen, dass [mm]\phi_{\lambda,w}[/mm] linear ist.
D.h.: Für v,v´aus V, s aus K zeigst du:
[mm]\phi_{lambda,w}(sv+v´) = s\phi_{lambda,w}(v)+phi_{lambda,w}(w)[/mm].
In Teil b) musst du zeigen, dass [mm]\Phi[/mm]bilinear ist.
D.h.: Für [mm]\lambda, \gamma \in V^*, v \in V, s \in K[/mm] zeigst du:
[mm]\Phi(s* \lambda + \gamma, w) = s*\Phi(\lambda,w)+ \Phi(\gamma,w)[/mm].
Das selbe zeigst du dann auch noch für das 2. Argument, und fertig ist!!!
Gruss,
Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Joergi |
Ach, ja!!!
Klar!!!
Hatte irgenwie ein Brett vorm Kopf!
Danke noch mal
Gruß Jörg
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