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Tensorprodukt von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Tensorprodukt von Vektorräumen: Proseminar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Mi 24.02.2016
Autor: Tutonga

Aufgabe
Proseminar: Tensorprodukt von Vektorräumen, Definition, Tensorproduktkonstruktion von r Vektorräumen in drei Schritten, Folgerungen

Hallo zusammen,

ich habe am 11. April mein Proseminarvortrag in Lineare Algebra zum Thema Tensorprodukt von Vektorräumen. Da ich noch im ersten Semester bin, habe ich noch kein LinA II gehört und bin auch sonst von mäßigen Verstand, daher ein paar Fragen:

Im Skript wird das Tensorprodukt von Vekorräumen wie folgt eingeführt:

Sei [mm] \mathbb{K} [/mm] ein Körper und [mm] \mathbb{K}-Vektorräume\ V_1,...,V_r [/mm] gegeben. Das Tensorprodukt von [mm] V_1,...,V_r [/mm] wird in drei Schritte konstruiert:

Schritt 1: Man bildet den freien [mm] \mathbb{K}-Vektorraum\ F(V_1 \times [/mm] ... [mm] \times V_r) [/mm] über die Menge [mm] V_1 \times [/mm] ... [mm] \times V_r, [/mm] d.h.

[mm] \begin{equation*} F(V_1 \times ... \times V_r) := \oplus\underset{(v_1,...,v_r)\in V_1,...,V_r}{} \mathbb{K}\cdot(v_1,...,v_r) \end{equation*} [/mm]

Schritt2: Es sei [mm] R(V_1\times ...\times V_r)\ \leq_{\mathbb{K}} F(V_1 \times [/mm] ... [mm] \times V_r) [/mm] der Aufspann von allen Elementen der Form:

[mm] 1_\mathbb{K} (v_1,...,v_{i-1},v_i+v_i',v_{i+1},...,v_r) [/mm] - [mm] 1_{\mathbb{K}} (v_1,...,v_{i-1},v_i,v_{i+1},...,v_r) [/mm] - [mm] 1_{\mathbb{K}} (v_1,...,v_{i-1},v_i',v_{i+1},...,v_r) [/mm]

und

[mm] 1_\mathbb{K} (v_1,...,v_{i-1},av_i,v_{i+1},...,v_r) [/mm] - a [mm] (v_1,...,v_{i-1},v_i,v_{i+1},...,v_r) [/mm]

Bei Schritt 1: Was ist der Unterschied zwischen einem Vektorraum und einem freien Vektorraum?
Bei Schritt 2: Den verstehe ich irgendwie noch gar nicht. Wenn ich die ganzen Elemente abziehe, dann bleibt doch nichts mehr übrig?

Da kommen vermutlich noch mehr Fragen, aber erst mal Schritt 2 verstehen.

Vielen Dank im voraus :)


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Tensorprodukt von Vektorräumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:09 Mi 24.02.2016
Autor: felixf

Moin!

> Proseminar: Tensorprodukt von Vektorräumen, Definition,
> Tensorproduktkonstruktion von r Vektorräumen in drei
> Schritten, Folgerungen
>
>   Hallo zusammen,
>  
> ich habe am 11. April mein Proseminarvortrag in Lineare
> Algebra zum Thema Tensorprodukt von Vektorräumen. Da ich
> noch im ersten Semester bin, habe ich noch kein LinA II
> gehört und bin auch sonst von mäßigen Verstand, daher
> ein paar Fragen:
>  
> Im Skript wird das Tensorprodukt von Vekorräumen wie
> folgt eingeführt:
>  
> Sei [mm]\mathbb{K}[/mm] ein Körper und [mm]\mathbb{K}-Vektorräume\ V_1,...,V_r[/mm]
> gegeben. Das Tensorprodukt von [mm]V_1,...,V_r[/mm] wird in drei
> Schritte konstruiert:
>  
> Schritt 1: Man bildet den freien [mm]\mathbb{K}-Vektorraum\ F(V_1 \times[/mm]
> ... [mm]\times V_r)[/mm] über die Menge [mm]V_1 \times[/mm] ... [mm]\times V_r,[/mm]
> d.h.
>  
> [mm] \begin{equation*} F(V_1 \times ... \times V_r) := \oplus\underset{(v_1,...,v_r)\in V_1,...,V_r}{} \mathbb{K}\cdot(v_1,...,v_r) \end{equation*}[/mm]
>  
>
> Schritt2: Es sei [mm]R(V_1\times ...\times V_r)\ \leq_{\mathbb{K}} F(V_1 \times[/mm]
> ... [mm]\times V_r)[/mm] der Aufspann von allen Elementen der Form:
>  
> [mm] 1_\mathbb{K} (v_1,...,v_{i-1},v_i+v_i',v_{i+1},...,v_r)[/mm] -
> [mm]1_{\mathbb{K}} (v_1,...,v_{i-1},v_i,v_{i+1},...,v_r)[/mm] -
> [mm]1_{\mathbb{K}} (v_1,...,v_{i-1},v_i',v_{i+1},...,v_r)[/mm]
>  
>
> und
>  
> [mm] 1_\mathbb{K} (v_1,...,v_{i-1},av_i,v_{i+1},...,v_r)[/mm] - a
> [mm](v_1,...,v_{i-1},v_i,v_{i+1},...,v_r)[/mm]
>  
> Bei Schritt 1: Was ist der Unterschied zwischen einem
> Vektorraum und einem freien Vektorraum?

Wenn du irgendeine Menge von Objekten hast, nennen wir sie $M$, sowie einen Körper $K$, so gibt es dazu einen $K$-Vektorraum [mm] $V_{K,M}$ [/mm] mit $M [mm] \subseteq [/mm] V$, so dass $M$ eine $K$-Basis von $V$ ist. Den Vektorraum $V$ nennt man dann ($K$-)frei mit Basis $M$.

Wenn $V$ irgendein $K$-Vektorraum ist und $M$ irgendeine Basis von $V$, dann ist $V$ insbesondere ein freier Vektorraum über $M$. Ein freier Vektorraum über einer Menge ist also ein Vektorraum mit einer Basis.

Man nennt einen Vektorraum frei, wenn es eine Basis gibt. Damit ist jeder Vektorraum ein freier Vektorraum.

(Vorsicht: wenn der Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, muss man erst zeigen, dass er eine Basis hat. Glaubt man an das Auswahlaxiom, ist das nicht so schwer -- Stichwort Zornsches Lemma --, aber ohne das Auswahlaxiom muss das nicht so sein.)

Interessanter wird die Landschaft eigentlich erst, wenn man sich das ganze nicht über Körpern, sondern über Ringen anschaut. Dort gibt es "Vektorräume" (die heissen dann Moduln), die nicht frei sind, also keine Basis haben.

Hier wird freier Vektorraum zumindest nur als Hilfsmittel benutzt, um zu einer Menge $M$ einen Vektorraum zu finden mit $M$ als Basis.

>   Bei Schritt 2: Den verstehe ich irgendwie noch gar nicht.
> Wenn ich die ganzen Elemente abziehe, dann bleibt doch
> nichts mehr übrig?

Wie meinst du das?

Du schaust einen Untervektorraum an, der von einer (sehr grossen) Menge von Elementen erzeugt wird. Dieser ist i.A. nicht der ganze (freie) Vektorraum $V$. Du kannst den Quotienten vom Vektorraum modulo dem Untervektorraum anschauen; dieser ist deshalb ein nicht-trivialer Vektorraum (es sei denn der UVR ist gleich dem Vektorraum, aber das passiert nur in ganz speziellen Fällen).

LG Felix


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