Term umformen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 So 17.01.2010 | | Autor: | notinX |
Eigentlich sollte das kein Problem sein, aber ich komm nicht drauf...
[mm] $\frac{n(5+3n)(n+3)+4(n+2)}{2(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{(n+1)(3n+8)}{2(n+2)(n+3)}$
[/mm]
kann man diesen Term (den linken) irgendwie umformen, ohne alles auszumultiplizieren und dann wieder zu faktorisieren. Sprich: gibt es einen einfacheren, eleganteren Weg?
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Hallo,
mir fällt zwar nicht wirklich was sinnvolles ein, aber zumindest beim Zähler kann man ja anstatt auszumultiplizieren die Nullstellen bestimmen. Hat man diesen dann kürzer hingeschrieben, muss man natürlich bestimmen mit welchem Faktor gekürzt werden muss. Da fällt mir nur die Polynomdivision ein. Und den Nenner dann durch Polynomdivision so umzuformen, dass er gekürzt da steht, bedeutet ganz schönen Aufwand...
Es macht also nicht wirklich viel Sinn so zu rechen, aber mir fällt nichts besseres ein.
Vielleicht gibt es ja noch andere Ideen..
Viel Erfolg noch,
Roland.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:27 Mo 18.01.2010 | | Autor: | pi-roland |
Hallo nochmal,
die Idee mit den Nullstellen wird wohl nicht funktionieren - zumindest nicht so.
Allerdings finde ich zur Zeit auch noch keinen Ansatz für eine andere Lösungsmöglichkeit.
Also viel Spaß beim Faktorisieren,
Roland.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 So 17.01.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo notinx,
wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, soll man zeigen, dass beide Seiten der Gleichung gleich sind und außerdem legt Deine Notation nahe, dass n eine natürliche Zahl ist (was letztlich aber unerheblich ist).
Um dies nun zu zeigen sind ja alle Äquvalenzumformungen der Gleichung erlaubt und daher kannst Du den Nenner der linken Seite ja mal nach rechts bringen (also beide Seiten der Gleichung damit malnehmen), was durch Kürzen zu
n(5+3n)(n+3)+4(n+2) = [mm] (n+1)^{2} [/mm] (3n + 8)
führt.
Jetzt ist eigentlich nur noch ausmultiplizieren notwendig:
[mm] 3n^{3} [/mm] + [mm] 14n^{2} [/mm] + 19n + 8 = [mm] 3n^{3} [/mm] + [mm] 14n^{2} [/mm] + 19n + 8
Das Faktorisieren ist durch das Kürzen netterweise nicht erforderlcih.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 So 17.01.2010 | | Autor: | notinX |
Hallo Uli,
tut mir leid ich habe mich wohl nicht richtigt ausgedrückt. Du hast zwar recht, dass es sich um natürliche Zahlen handelt, aber ich möchte nicht zeigen, dass die Gleichung gilt (das weiß ich schon  ). Es geht mir darum den linken Term so umzuformen, dass er so aussieht wie der auf der rechten Seite. Wenn es möglich ist eben ohne alles auszumultiplizieren, zusammenzufassen und wieder zu faktorisieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 So 17.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo notinX!
> Wenn es möglich ist eben ohne alles auszumultiplizieren, zusammenzufassen
> und wieder zu faktorisieren.
Ich befürchte aber, dass Du in diesen sauren Apfel beißen musst.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 So 17.01.2010 | | Autor: | notinX |
Das habe ich auch schon befürchtet. Einen Versuch wars ja wert.
Danke für die Antworten.
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> Eigentlich sollte das kein Problem sein, aber ich komm
> nicht drauf...
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> [mm]\frac{n(5+3n)(n+3)+4(n+2)}{2(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{(n+1)(3n+8)}{2(n+2)(n+3)}[/mm]
> kann man diesen Term (den linken) irgendwie umformen, ohne
> alles auszumultiplizieren und dann wieder zu faktorisieren.
> Sprich: gibt es einen einfacheren, eleganteren Weg?
Hallo,
ja, den gibt es - er setzt aber weit vor dem an, was Du postest.
Wenn ich messerscharf kombiniere, war hier [mm] \summe\bruch{2}{i(i+2)} [/mm] zu berechnen, und Du hast den Weg über vollständige Induktion gewählt.
Entschieden schneller ist man, wenn man erkennt, daß das eine Teleskopsumme ist.
Es ist nämlich [mm] \bruch{1}{i(i+2)}=\bruch{1}{i}-\bruch{1}{i+2}, [/mm] und wenn man das erkennt, dann merkt man, daß die Summe schrumpft zu [mm] \bruch{3}{2}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+2}, [/mm] und deren Gleichheit mit [mm] \bruch{n(3n+5)}{2(n+1)(n+2)} [/mm] ist nicht wild.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Do 21.01.2010 | | Autor: | notinX |
> Wenn ich messerscharf kombiniere, war hier
> [mm]\summe\bruch{2}{i(i+2)}[/mm] zu berechnen, und Du hast den Weg
> über vollständige Induktion gewählt.
Ich bin beeindruckt, Du hast Recht.
> Entschieden schneller ist man, wenn man erkennt, daß das
> eine Teleskopsumme ist.
Das habe ich erkannt, ich wollte allerdings wissen, wie man per Induktion zum Ziel kommt.
Dennoch, danke für den Hinweis.
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