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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:57 Do 10.03.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ich möchte folgendes zeigen:Seien [mm]X_1,...,X_n[/mm] reellwertige, identisch verteilte Zufallsvariablen.Ferner sei [mm]\tau_{\infty}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\sigma(X_n,X_{n+1},...)[/mm],
die terminale [mm]\sigma[/mm]-Algebra der Folge [mm](X_n)_n[/mm] und [mm]\tau_{n}=\sigma(X_n,X_{n+1},...)[/mm].
Dann gilt:
(1) Die Funktion [mm]\limsup_{n\to\infty} X_n[/mm] ist [mm](\tau_{\infty}-\overline{\IB^{\IN}})[/mm]-messbar.
(2) Die Funktion [mm]\limsup_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}X_i[/mm] ist messbar bzgl. der [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]X^{-1}(S)[/mm], wobei [mm]X=(X_n)_n[/mm] als Zufallsvektor aufgefasst wird und [mm]\mathcal S[/mm] die Menge der bzgl. [mm]X[/mm] symmetrischen messbaren Ereignisse, d.h. alle [mm]A\in\overline{\IB^{\IN}}[/mm] mit [mm]\{X\in A\}=\{X_\pi\in A\}[/mm] (wobei [mm]\pi[/mm]endliche Permutation von [mm]\IN[/mm] sei)
Wäre toll, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet.
Hab mir folgende Gedanken gemacht:
Zu (1):
Zeige die Messbarkeit für Erzeuger von [mm]\overline{\IB^{\IN}}[/mm], z.B.
[mm]\{([\infty,a),a\in\IR\}[/mm]. Dann folgt die Behauptung.
[mm] (\limsup X_n)^{-1}([\infty,a))=\limsup\{X_n
Dies ist Element aus [mm]\tau_k[/mm].
Bei der Begründung bin ich mir nicht sicher:
[mm]\{X_i
Komme dann aber argumentativ nicht weiter.
Wenn aber [mm](\limsup X_n)^{-1}([\infty,a))\in\tau_k[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm] dann ist auch [mm](\limsup X_n)^{-1}([\infty,a))\in\tau_\infty[/mm].
Zu (2):
Wie kann man sich [mm] $X^{-1}(\mathcal [/mm] S)$ vorstellen? Verbinde überhaupt nix mit dieser [mm] $\sigma$-Algebra...
[/mm]
Wissen, dass [mm] X^{-1}(\mathcal [/mm] S) [mm] \supset\tau_{\infty} [/mm] Aber das hilft nicht weiter oder?
Anderer Weg:
[mm]\limsup\sum_{i=1}^{n}X_i(\omega)=\limsup\sum_{i=n_0}^{n}X_i(\omega)=
\limsup\sum_{i=n_0}^{n}X_{\pi(i)}(\omega)=\limsup\sum_{i=1}^{n}X_{\pi(i)}(\omega)[/mm]
(da [mm]\pi[/mm] endliche Permutation existiert ein [mm]n_0[/mm], so dass [mm]\pi(n)=n[/mm]
für alle [mm]n\ge n_0[/mm])
Also ist [mm]g:(x_n)_n\to\sum_{i=1}^{n}x_i[/mm] symmetrisch bzgl [mm]X=(X_n)_n[/mm], da [mm]g\circ X=g\circ X_{\pi}[/mm]
Danke!
LG
Fry
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Do 10.03.2011 | | Autor: | Fry |
Bei den Intervallen fehlt vor dem [mm] \infty [/mm] immer das "-"
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 18.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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