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Forum "Analysis des R1" - Testfunktion soll verschwinden
Testfunktion soll verschwinden < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Testfunktion soll verschwinden: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Sa 16.04.2016
Autor: Laura22

Hallo!

Gegeben sei eine Funktion (soganannte "Testfunktion") [mm] \phi \in C^{\infty}_{0}( \IR), [/mm] d.h. eine unendlich oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger in [mm] \IR. [/mm] Konvergiert der folgende Ausdruck gegen 0 ?

[mm] \limes_{a \rightarrow \infty} ((1-a^2)\phi(a) [/mm] - [mm] (1-a)\phi(-a)) [/mm]

Nun bin ich sehr verwirrt, weil dort ja im Grunde genommen sowas wie
[mm] -\infty \cdot [/mm] 0 + [mm] \infty \cdot [/mm] 0 steht, was ja nicht definiert ist...
Oder steh ich auf dem Schlauch?

Viele Grüße,
Laura
  
Hintergrund: Ich sollte von einer Abbildung (1 + x, x > 0; 2, x = 0 ; 1 - [mm] x^2, [/mm] x<0) zeigen, dass sie schwach ableitbar ist und ich habe als Randterme die obige Summe übrig. Die müsste gegen 0 konvergieren, damit ich das Gewünschte zeige.

        
Bezug
Testfunktion soll verschwinden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Sa 16.04.2016
Autor: fred97


> Hallo!
>  
> Gegeben sei eine Funktion (soganannte "Testfunktion") [mm]\phi \in C^{\infty}_{0}( \IR),[/mm]
> d.h. eine unendlich oft differenzierbare Funktion mit
> kompaktem Träger in [mm]\IR.[/mm] Konvergiert der folgende Ausdruck
> gegen 0 ?
>  
> [mm]\limes_{a \rightarrow \infty} ((1-a^2)\phi(a)[/mm] -
> [mm](1-a)\phi(-a))[/mm]
>  
> Nun bin ich sehr verwirrt, weil dort ja im Grunde genommen
> sowas wie
>  [mm]-\infty \cdot[/mm] 0 + [mm]\infty \cdot[/mm] 0 steht, was ja nicht
> definiert ist...
>  Oder steh ich auf dem Schlauch?

Ja, was bedeutet denn, dass [mm] \phi [/mm] kompakten Träger hat ?

U.a. das: für |a| hinr. groß ist [mm] \phi(a) [/mm] =0.

FRED

>  
> Viele Grüße,
>  Laura
>    
> Hintergrund: Ich sollte von einer Abbildung (1 + x, x > 0;
> 2, x = 0 ; 1 - [mm]x^2,[/mm] x<0) zeigen, dass sie schwach ableitbar
> ist und ich habe als Randterme die obige Summe übrig. Die
> müsste gegen 0 konvergieren, damit ich das Gewünschte
> zeige.  


Bezug
                
Bezug
Testfunktion soll verschwinden: Ich war doof!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:45 Sa 16.04.2016
Autor: Laura22

Ach, ich glaube ich hab da was durcheinander gebracht. Du hast Recht: Für |a| groß genug ist dann jedes Folgenglied 0 wegen des kompakten Trägers. Man hat dann gar kein Produkt 0 [mm] \cdot \infty, [/mm] welches nicht def. wäre.
Danke, aber manchmal hakt es einfach :P.

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