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| Aufgabe | Ein Würfel und ein reguläres Tetraeder haben die gleiche Oberfläche. Berechnen Sie das Verhältnis ihrer Volumen:
VT : VW |
AW= 6 * [mm] l^{2}
[/mm]
VW= [mm] l^{3}
[/mm]
AT= 4 * G = 4 * [mm] (\wurzel{3}/4) [/mm] * [mm] s^{2}
[/mm]
VT= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * G * h
= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{3}}{4} [/mm] * [mm] s^{2} [/mm] * [mm] \bruch{3s}{2}
[/mm]
So weit bin ich gekommen... Wie kann ich das nun ins Verhältnis setzen?? Und stimmen meine Überlegungen bis hier??
Vielen Dank im voraus für eure Hilfe!
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Um dir die Lösung etwas zu erleichtern, darfst du zum Beispiel annehmen, dass die Würfelkante die Länge 1 hat.
Ich denke, dass du die Höhe des Tetraeders nicht richtig bestimmt hast. Um dafür eine Formel aufzustellen, legst du einen vertikalen Schnitt durch das Tetraeder (Körperhöhe und eine Pyramidenkante sollen in der Schnittebene liegen). Durch zweimalige Anwendung von Pythagoras findest du die Formel für h.
Viel Erfolg! Al-Ch.
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Ok ich habe einen Fehler entdeckt! Nun komme ich auf
[mm] \bruch{\wurzel{13}*st}{4} [/mm] für die Höhe
Stimmt das? Kann mir vielleicht jemand die ganze Aufgabe durchrechnen? ich komme sonst wahrscheinlich nie auf die Lösung...
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Hallo Stefanie
(A.) Fläche
Oberfläche Würfel $ [mm] A_{W}$ [/mm] = Oberfläche Tetraeder $ [mm] A_{T}$
[/mm]
I $ [mm] A_{W} [/mm] \ = \ 6 \ * \ [mm] a^{2} [/mm] = [mm] A_{T}$
[/mm]
Ein regelmässiger Tetraeder hat 4 gleiche Seitendreiecke.
II $ [mm] A_{T} [/mm] \ = \ 4 \ * [mm] A_{S}$, [/mm] $ S \ = $ Seitendreieck des Tetraeders.
III [mm] $A_{S} [/mm] \ = [mm] \bruch{\ b * h_{S}}{2} [/mm] $, $b \ = $ Seite des Tetraeders [mm] $h_{S}$ [/mm] = Höhe des Seitendreieck
Die Höhen [mm] $h_{S}$ [/mm] im Seitendreieck des Tetraeders sind gleichzeitig Mittelsenkrechte und Seitenhalbierende. Sie schneiden sich im Verhältnis 2:1. Daraus ergibt sich für die Höhen [mm] $h_{S}$:
[/mm]
[mm] $h_{S} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{ \wurzel{3}}{2} [/mm] \ * \ b $
Dies in III eingesetzt:
III [mm] $A_{S} [/mm] \ = [mm] \bruch{\ b * h_{S}}{2} [/mm] $
III' [mm] $A_{S} [/mm] \ = [mm] \bruch{\ b *\bruch{ \wurzel{3}}{2} \ * \ b }{2} [/mm] $
III' [mm] $A_{S} [/mm] \ = [mm] \bruch{ \wurzel{3}}{4}\ [/mm] * \ [mm] b^{2} [/mm] $
(B.) Volumen
Zur Volumenberechnung des Tetraeders brauchst Du die Höhe des Tetraeders [mm] $h_{T}$.
[/mm]
Dazu betrachtest Du das Stützdreieck (Hilfsdreieck) gebildet aus einer Seite (Kante) des Tetraeders $= b$ und aus zwei Höhen eines Seitendreiecks [mm] $h_{S}$. [/mm] In diesem Stützdreieck kannst Du die Tetraederhöhe mittels Höhensatz (Spezialfall des Pythagoras) ausrechnen.
[mm] $h_{T} [/mm] \ ^{2} \ = \ [mm] \bruch{2}{3} h_{S} [/mm] * \ [mm] h_{S} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{6}}{3} [/mm] \ * \ [mm] h_{S}$
[/mm]
Für die Berechnung des Volumens stellst Du deinen Tetraeder in ein Prisma mit der gleichen Grundseite (Seitendreieck) und der gleichen Höhe [mm] $h_{T}$ [/mm] und überlegst Dir, wie oft Du Dein Trapez in das Prisma stellen kannst.
Daraus ergibt sich das Volumen des Trapezes.
Zuletzt musst Du noch die zwei Volumina vergleichen.
Grüsse aus Zürich
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