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Tetraeder: Polygonzüge
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Mi 18.11.2009
Autor: radioactive

Aufgabe
Alle Seitenflächen eines Tetraeders ABCD seien spitzwinklige Dreiecke. Wir betrachten alle geschlossenen Polygonzüge XYZTX, wobei X, Y, Z und T innere Punkte der Kanten [mm] \overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD} [/mm] bzw. [mm] \overline{DA} [/mm] seien. Man beweise:
a) Ist <DAB + <BCD [mm] \not= [/mm] <ABC +<CDA, so existiert unter den Polygonzügen kein kürzester.
b)Ist <DAB + <BCD = <ABC +<CDA, so existieren unendlich viele kürzeste Polygonzüge XYZTX. Ihre Länge beträgt [mm] 2\overline{AC}sin\alpha/2, [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] = <BAC + < CAD +<DAB ist.
Hinweis: Man betrachte das Netz des Tetraeders in der Ebene.

Ich habe bei der Aufgabe schon mehreren Sachen ausprobiert, wie z.B. triogonometrische verhältnisse zwischen den Winkeln und den einzelnen Strecken des Polygonzuges oder in die Ebene ausgeklappt um etwas hilfreiches zu finden. Leider komm ich irgendwie nicht weiter, obwohl ich weiß, dass die Lösung nicht so schwer sein kann.

        
Bezug
Tetraeder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Mi 18.11.2009
Autor: abakus


> Alle Seitenflächen eines Tetraeders ABCD seien
> spitzwinklige Dreiecke. Wir betrachten alle geschlossenen
> Polygonzüge XYZTX, wobei X, Y, Z und T innere Punkte der
> Kanten [mm]\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}[/mm] bzw.
> [mm]\overline{DA}[/mm] seien. Man beweise:
>  a) Ist <DAB + <BCD [mm]\not=[/mm] <ABC +<CDA, so existiert unter
> den Polygonzügen kein kürzester.
>  b)Ist <DAB + <BCD = <ABC +<CDA, so existieren unendlich
> viele kürzeste Polygonzüge XYZTX. Ihre Länge beträgt
> [mm]2\overline{AC}sin\alpha/2,[/mm] wobei [mm]\alpha[/mm] = <BAC + < CAD
> +<DAB ist.
>  Hinweis: Man betrachte das Netz des Tetraeders in der
> Ebene.
>  Ich habe bei der Aufgabe schon mehreren Sachen
> ausprobiert, wie z.B. triogonometrische verhältnisse
> zwischen den Winkeln und den einzelnen Strecken des
> Polygonzuges oder in die Ebene ausgeklappt um etwas
> hilfreiches zu finden. Leider komm ich irgendwie nicht
> weiter, obwohl ich weiß, dass die Lösung nicht so schwer
> sein kann.

Hallo,
bei verschiedenen Polygonzügen sollten eigentlich auch verschiedene Längen dieser Polygonzuge zu erwarten sein (also wären einige Längen kürzer als andere).
Warum sollte es keine kürzeste Länge geben? Die Antwort ist einfach: die kürzeste Länge erreicht man wohl, wenn X,Y,Z und T paarweise auf zwei Eckpunkte  zuwandern und aus dem Streckenzug die doppelt durchlaufene Kantenlänge (AC oder BD, je nachdem, welche Kante kürzer ist) wird.
Da nur innere Punkte erlaubt sind, kann man sich der kürzesten Möglichkeit zwar beliebig nahe annähern, aber sie nicht erreichen.
Sollten hingegen AC und DB gleich lang sein, kann man die Punkte so wählen,  dass XY und ZT jeweils parallel zu AC sind und YZ und XT parallel zu BD sind. In einem solchen Fall haben sämtliche entstehende Polygonzüge den gleichen Umfang.
Das ist nur mal was grundsätzliches.
Ins Detail gehe ich nicht, bitte gib erst mal an, aus welchem (hoffenlich ehemaligen) Wettbewerb die Aufgabe stammt.
Gruß Abakus



Bezug
                
Bezug
Tetraeder: Aufgabeherkunft
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:30 Mi 18.11.2009
Autor: radioactive

hallo,
also die aufgabe stammt aus nem mathebuch von meinem lehrer an der schule, wir haben da ne Mathe AG und sollen versuchen es bis zum nächsten Mal zu lösen

Lg Radioactive

PS.: Vllt könnten Sie ja jetzt genauer eingehen ;)

Bezug
                        
Bezug
Tetraeder: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Fr 20.11.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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