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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mi 08.02.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Drei Vektoren im [mm] \IR^{3}, [/mm] die nicht in einer Ebene liegen,
definieren einen Tetraeder. Zeigen Sie: Wird jeder der vier
Tetraederflächen ein "nach außen" zeigender Normalenvektor
zugeordnet, dessen Länge dem jeweiligen Flächeninhalt
entspricht, so verschwindet die Summe dieser 4 Vektoren. |
Hallo,
also bei der Aufgabe habe ich erstmal die drei Vektoren
[mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c}
[/mm]
diese sind lin. unab.. Jetzt berechne ich dreimal das
Kreuzprodukt, weil ich ja die Normalenvektoren zu den vier
Flächen brauche. Dreimal, weil ich nicht weiß wie ich auf
die vierte Seite kommen soll. Die drei Vektoren sind die
drei Kanten des Tetraeders. Nachdem ich Das Kreuzprodukt
berechnet habe, würde ich von jedem der entstandenen
Normalenvektoren den Betrag nehmen und den = dem
Flächeninhalt der Fläche setzen. So und jetzt weiß ich
nicht wie ich auf den Vektor für die Grundfläche komme oder
wie ich weiter machen soll oder ob mein Ansatz überhaupt
richtig ist.
Gruß
al3pou
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Hallo,
die Aufgabe ist viel einfacher, als sie aussieht. Drücke die drei restlichen Tetraederkanten als Linearkombinationen von a, b und c aus und beachte die wichtige Eigenschaft des Kreuzproduktes, dass nämlich die drei Vektoren
[mm] \overline{a},\overline{b} [/mm] und [mm] \overline{a}\times\overline{b}
[/mm]
in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden.
Weiterhin ist ja - algebraisch gesehen - das Kreuzprodukt ein Biest, aber wenistens assoziativ. 
Wenn du all dies berücksichtigst, dann müsste die Summe der vier Normalenvektoren ganz einfach der Nullvektor sein.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Do 09.02.2012 | | Autor: | al3pou |
Okay, ich habe jetzt eine Seite der Grundfläche als
Linearkombination von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ausgedrückt. Jetzt
verstehe ich aber deinen Hinweis mit dem Rechtssystem nicht.
Und ich würde doch trotzdem eine Gleichung aufstellen, wo ich
jeweils einen der Normalenvektoren mit dem Flächeninhalt der
entsprechenden Seite gleichsetze oder?
Gruß
al3pou
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Hallo,
vergiss die Flächen: wenn du einen Normalenvektor einer dreieckigen Fläche per Kreuzprodukt zweier Seitenvektoren berechnest, so entspricht sein Betrag der doppelten Fläche. Du kannst getrost mit dieser doppelten Fläche rechnen, weil du den Faktor 2 eh aus der Summe herausziehen kannst, und diese Summe soll ja Null werden.
Das mit dem Rechtssystem ist deshalb wichtig, weil du sicherstellen musst, dass entweder alle Normalenvektoren aus dem Tetraeder herauszeigen, oder alle in ihn hinein, aber eben nicht beliebig.
![[]](/images/popup.gif) Rechtssystem kann man googeln.
> Okay, ich habe jetzt eine Seite der Grundfläche als
> Linearkombination von [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] ausgedrückt.
Ja, wenn du es geschickt machst, dann reicht dir eine dieser Seitenkanten aus.
Gruß, Diophant
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