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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 So 14.11.2004 | | Autor: | rabbar |
In einem Tetraeder sind alle Kanten gleich lang und alle von den Kanten eingeschlossenen Winkel gleich groß. Beweisen Sie, dass je zwei gegenüberliegende Kanten zueinander orthogonal sind. (Skalarprodukt!!!)
Mein erster Eindruck war, dass diese Aufgabe nicht sehr schwer sei, doch als ich das Tetraeder gezeichnet habe und dann fest gestellt habe, dass alle Winkel im Tetraeder 60° groß sind und für mich sich jetzt die schwierige Frage stellt wie kann ich jetzt beweisen, dass zwei gegenüberliegende Seiten zueinander ortogonal sind. Dafür müsste es ja einen Winkel von 90° geben den ich aber nicht habe!!! Habe deswegen keine weitere Ahnung wie ich bei dieser Aufgabe zur Lösung kommen kann!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi rabbar
Also erstmal, weiß ich auch nicht ganz, was bei der Aufgabe gemeint ist, da die Graden durch gegenüberliegende Seiten zueinander windschief sind?? Ich vermute mal, dass nach dem Winkel gefragt ist, den man erhällt, wenn man die Geraden durch Kongruenzverschiebungen in eine gemeinsamge Ebene projeziert.
Und hierzu ist mir ne Lösung eingefallen, hat allerdings nichts mit Vektoren, und so zu tun und ich bin mir auch nicht sicher, ob das jetzt totaler Schwachsinn ist oder nicht???
Also hier nun meine mathematischen Fantasien:
Zuerst wählen wir uns eine beliebige Seite als Grundseite und eine Dreiecksseite, die erstere einschließt, als Grundfläche. Diese liegen beide in einer Ebene. Als nächstes projeziere ich die gegenüberliegende Seite senkrecht zur Grundebene auf diese. (also derart, dass sich die Ortogonalitätsbeziehung nicht verändert wird). In der Grundfläche erscheint die Gerade nun als Seitenhalbierende, da sie durch den Schwerpunkt geht. (die "Spitze" wird auf dem Schwerpunkt der Grundfläche abgebildet). Da das Dreieck gleichseitig ist, ist die Seitenhalbierende auch Höhe im Dreieck und diese ist ja offentsichtlich senkrecht zu der Grundseite!!!
Wenn ich dir damit überhaupt nicht geholfen haben sollte, dann frag noch mal nach. Dann kann dir sicher ein anderer eine qualifiziertere Antwort geben.
Gruß Samuel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mo 15.11.2004 | | Autor: | rabbar |
Hi Samuel,
danke für deine Mühe bei der Aufgabe, doch dieser Ansatz bringt mich nicht bei meiner Aufgabenstellung und den Lösungen mit Skalarprodukten weiter von daher tut mir leid und ich bitte nun um erneute Hilfe bei der Aufgabe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo rabber
hast du schon eine Skizze gemacht?
Lege dein Tetraeder doch so, dass die 3 Ecken A,B und C in der x-y-Ebene liegen, so dass sie um den Nullpunkt ein gleichseitiges Dreieck bilden. Die Ecke D liegt dann auf der z-Achse, auf einer gewissen Höhe.
Der Ortsvektor von A sei [mm] $\vec{a}$, [/mm] für die übrigen Ecken entsprechend.
Dann ist die Richtung der Kante AB gegeben durch [mm] $\vec{b}-\vec{a}$, [/mm] die der gegenüberliegende Kante ist dann [mm] $\vec{d}-\vec{c}$.
[/mm]
Das Skalarprodukt somit:
[mm] $(\vec{b}-\vec{a})*(\vec{d}-\vec{c})$
[/mm]
Weil das Skalarprodukt dem Distributivgesetz gehorcht, kannst du das ausmultiplizieren und erhältst:
[mm] $\vec{b}*\vec{d}-\vec{b}*\vec{c}-\vec{a}*\vec{d}+\vec{a}*\vec{c}$
[/mm]
Hier ist das 1. und 3. Skalarprodukt $0_$, weil [mm] $\vec{b}$ [/mm] senkrecht auf [mm] $\vec{d}$ [/mm] und ebenfalls [mm] $\vec{a}$ [/mm] senkrecht auf [mm] $\vec{d}$ [/mm] steht.
Du brauchst also nur noch zu zeigen, dass gilt:
[mm] $\vec{a}*\vec{c}-\vec{b}*\vec{c}=0$
[/mm]
das sollte aber nicht allzuschwierig sein, weil das ja Vektoren sind, die ein gleichseitiges Dreieck bilden (gleiche Länge, gleicher Zwischenwinkel).
Damit hast du wohl die elegeanteste Lösung in deiner Klasse (etwas ausformulieren musst du es aber schon), weil die meisten anderen die Koordinaten der Ecken berechnen werden und mühsam ausmultiplizieren.
Übrigens: an dieser Lösung siehst du auch sehr schön, dass die Höhe der Ecke D keine Rolle spielt. Solange das Grunddreieck gleichseitig ist, sind die gegenüberliegenden Kanten senkrecht zueinander, unabhängig von der Höhe!
Teilst du mir dann bitte mit, wie diese Lösung bei deinem Lehrer angkommen ist?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mo 15.11.2004 | | Autor: | rabbar |
Hi Paulus
vielen Dank für deine Hilfe doch ich Verzweifle im moment daran dieses Tetraeder zu zeichnen und dann fort zu fahren!!! Im Moment raucht nur noch der Kopf und ich mache wahrscheinlich nur einen Einfachen Denkfehler bei der gesamten Aufgabe!!!
Kannst du diese eventuell noch ein wenig genauer ausführen für die Zeichnung wo welcher Vektor ist und wo welcher Eckpunkt liegt dann dürfte ich es leichter haben fort zu fahren !!!
Vielen Dank scvhon Mal !!!
Rabbar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Rabar
zeichne nur mal die x-y-Ebene auf ein Blapier.
Die Punkte A, B und C haben z.B. die Koordinaten
[mm] $A(-\wurzel{3},-1)$
[/mm]
[mm] $B(\wurzel{3},-1)$
[/mm]
$C(0,2)_$
Das Dreieck dürfte beliebig rotiert werden, wichtig ist nur, dass der Koordinatenursprung genau im Zentrum des Dreieckes liegt.
Der Vektor [mm] $\vec{a}$ [/mm] zeigt vom Koordinatenursprung zum Punkt A,
der Vektor [mm] $\vec{b}$ [/mm] zeigt vom Koordinatenursprung zum Punkt B,
der Vektor [mm] $\vec{c}$ [/mm] zeigt vom Koordinatenursprung zum Punkt C.
Wenn man jetzt noch die z-Koordinate hinzunimmt, dann haben die Vektoren folgende Komponenten:
[mm] $\vec{a}=\vektor{-\wurzel{3}\\-1\\0}$; $\vec{b}=\vektor{\wurzel{3}\\-1\\0}$; $\vec{c}=\vektor{0\\2\\0}$
[/mm]
Der Vektor [mm] $\vec{d}$ [/mm] hat die Komponenten [mm] $\vektor{0\\0\\H}$, [/mm] wobei der Wert von $H_$ für unsere Zwecke irrevelant ist (ich bin jetzt zu faul, den auch noch zu berechnen).
Wichtig ist nur, dass du siehst, dass [mm] $\vec{d}$ [/mm] zu den anderen 3 Vektoren senkrecht steht.
Ich hoffe, damit verstehst du nun meine erste Antwort. Falls nicht, dann frage einfach weiter! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Di 16.11.2004 | | Autor: | rabbar |
Hi Paulus,
vielen vielen Dank schon einmal, aber was mir jetzt noch nicht ganz klar ist, ist dass die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] , [mm] \vec{b} [/mm] , [mm] \vec{c} [/mm] und [mm] \vec{d} [/mm] im Koordinatensystem beim Nullpunkt beginnen und dann zu ihren einzelnen Koordinatenpunkte, die du mir genannt hast verbunden werden. Doch jetzt liegen diese doch nicht mehr orthogonal zueinander oder? Wenn ja wie sehe ich dieses oder kann mir das am besten vorstellen ?
Wenn dieses so ist dann ist das ja klar das zwei Vektorenpaare herausfallen weil diese Orthogonal zueinander sind.
Doch dann weiß ich nicht wie ich dieses jetzt ( [mm] \vec{a}*\vec{c} [/mm] ) -( [mm] \vec{b}\vec{c} [/mm] )=0
weiter ausrechnen beziehungsweise beweisen soll !!! Tut mir Leid stelle mich in letzter Zeit mit solchen Aufgaben ziemlich Dumm an und hoffe um weitere Unterstützung!!!
Vielen Dank schon einmal
rabbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo rabbar
ist dir die Zeichnung denn gelungen?
Wenn du nur mal auf deine Tischplatte, evtl. mit einen Blatt Papier, das gleichseitige Dreieck ABC zeichnest, in dessen Zentrum der Koordinatenursprung liegt, dann sind die Ortsvektoren von A, B und C, das sind ja die Pfeile vom Ursprung zu den 3 Ecken hin, doch alle drei gleich lang und bilden untereinander einen Winkel von 120°. Somit ist doch
[mm] $\vec{a}*\vec{b}$ [/mm] gleich gross wie [mm] $\vec{b}*\vec{c}$ [/mm] oder auch [mm] $\vec{c}*\vec{a}$.
[/mm]
Wenn du nun mit Hilfe deines Bleistifts noch die z-Achse darstellst, indem du den Bleistift senkrecht auf deine Tischplatte stellst, genau auf den Koordinatenursprung, wo also auch die Vektoren [mm] $\vec{a}$, $\vec{b}$ [/mm] und [mm] $\vec{c}$ [/mm] entspringen, dann stellst du doch fest, dass die drei genannten Vektoren zu deinem Bleistift, der ja schliesslich den Vektor [mm] $\vec{d}$ [/mm] darstellt, senkrecht stehen. Das wärs dann ja schon.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Mi 17.11.2004 | | Autor: | rabbar |
Hi Paulus,
nochmals vielen vielen Dank für deine Hilfe!!! Mein Lehrer fand die Antwortmöglichkeit sehr gut!!! also vielöen Dank!
rabbar
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