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| Aufgabe | | Berechnen sie das Volumen des durch die vektoren ...... aufgespannten Tetraeders. |
Es geht um keine spezielle Aufgabe. Aber ich habe schon oft eine Aufgabe dieses types lösen müssen. War bisher kein problem, nur bin ich an einem Punkt immer ins stocken gekommen.
Es geht um die berechnung von V durch das spatprodukt. Die Formel die überall steht lautet:
[mm] \bruch{1}{6}|(\overrightarrow{a} [/mm] x [mm] \overrightarrow{b}) \* \overrightarrow{c}|
[/mm]
Ich verstehe das der Betrag des Spatproduktes das Volumen des aufgespannten dreidimensionalen Diagramms ist. Und ich verstehe auch die herleitung der oben aufgeführten Formel. Denn V eines Tetraeders wird beschrieben durch.
[mm] \bruch{1}{3}G\*h [/mm] und da es sich beim spat um die doppelte Grundfläche handelt ist es [mm] \bruch{1}{6}Gspat\*h [/mm] und somit [mm] \bruch{1}{6}Vspat
[/mm]
alles schön und gut. Jetzt habe ich hier zwei Fragen. Erstmal. Normalerweise rechnet man das volumen ja rein geometrisch mit der höhe. Warum darf man hier die Höhe durch den Vektor ersetzen? Ist das einfach eine Eigenschaft des Spatproduktes?
Und was mich noch viel mehr verwirrt. Ich habe bevor ich die Formel kannte versucht mir V logisch zu erschließen. Hierzu hab ich erstmal durch den spat das Volumen des 3D-Parallelogramms errechnet und mir dann eine skizze gemacht und festgestellt das das Tetraeder genau 4 mal in das Parallelogramm passt. Habe also gerechnet:
[mm] \bruch{1}{4}|(\overrightarrow{a} [/mm] x [mm] \overrightarrow{b}) \* \overrightarrow{c}|
[/mm]
In der darauffolgenden Übung wurde dann gesagt das es aber wie folgt aussieht:
[mm] \bruch{1}{6}|(\overrightarrow{a} [/mm] x [mm] \overrightarrow{b}) \* \overrightarrow{c}|
[/mm]
Ich kann mir beim besten Willen nicht erklären warum ich das Volumen des Parallelogramms durch 6 teilen muss, da ich mir 100 prozentig sicher bin das das Ding da 4 mal reinpasst und nicht 6 mal.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Di 01.02.2011 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Erstmal. Normalerweise rechnet man das volumen ja rein geometrisch mit
> der höhe.
Mit "rechnet" meinst du, dass man den Betrag der Grundfläche mit dem Betrag der Höhe multipliziert. (Multiplikation von Zahlen) Beim Spatprodukt bildet man aber das Skalarprodukt zweier Vektoren, da spielt der Winkel zwischen ihnen eine Rolle und deshalb kann nicht die Rede davon sein, dass die Höhe durch einen Vektor "ersetzt" wird.
> und mir dann eine skizze gemacht und festgestellt das das Tetraeder genau
> 4 mal in das Parallelogramm passt.
Statt "Parallelogramm" (ebene Figur) : du meinst "Spat" (= "Parallelepiped").
Die Skizze ist falsch. Das mit der Grundfläche hast du ja schon erklärt und in das Prisma mit dreieckiger Grund- und Deckelfläche passt das Tetraeder zunächst zweimal hinein (einmal mit Grundfläche auf Grundfläche, einmal mit Grundfläche auf Deckelfläche) und dann ist da immer noch Platz, der genauso groß ist wie das Tetraeder.
Gruß Sax.
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oke, tut mir leid für die Fehlerhafte Begrifflichkeit. Aber Wenn ich mir so einen Spat/Parallelepiped mal anschaue sehe ich keine dreieckige Grundfläche, sondern eine viereckige. Ebenso wie die Deckelfläche.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Di 01.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
halbier das Ding einfach längs einer Seitendiagonalen, dann hast du ddie dreieckeige Grundfläche.
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 Di 01.02.2011 | | Autor: | Mammutbaum |
Nachdem ich mir nochmal 100 Skizzen gemacht habe bin ich zu dem schluss gekommen, das sich 5 Tetraeder in dem Parallelepiped befinden. Dann glaub ich euch jetzt auch das es 6 sind. Ich denke mein räumliches denken hat die übrigen 2 einfach nicht erfassen können. Ich wünschte ich hätte irgendeine bute animierte skizze, in der die sech tetraeder erst einzeln rumliegen und sich dann zu dem Parallelepiped zusammensetzen. Aber im internet hab ich leider nix gefunden. Wie dem auch sei, jetzt kann ich ruhig schlafen.
Dankeschön
Edit: Habe was sehr hilfreiches gefunden: http://people.math.sfu.ca/~hebron/archive/2000-1/math232/jsp/tetrapiped.html einfach auf drag und das ganze ineinander und auseinander ziehen. :)
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