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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Textaufgabe
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Textaufgabe: Druck, Volumen, Arbeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Sa 26.04.2014
Autor: jayw

Aufgabe
Ein Kolben sperrt Gas des Druckes P und des Volumens V ein.
Es wird angenommen, dass bei einer Bewegung des (als dicht und reibungsfrei anzusehenden) Kolbens die Temperatur konstant gehalten wird. Unter dieser Voraussetzung ist der Druck des Gases antiproportional zu dem entsprechendem Volumen. Berechnen Sie die vom Gas verrichtete mechanische Arbeit wenn es sich auf das Volumen 20V ausdehnt. (Hinweis: Die Arbeit ergibt sich durch Integration der Kraft F(s) entlang des durch die Variable s bezeichneten Weges.)


Hallo! Ich brauche mal einen Tipp für diese Aufgabe.
Das einzige was ich da rauslesen kann ist der Hinweis mit der Antiproportionalität ([mm] P= \bruch{K}{V} [/mm]) und [mm] W= \int_{s}^{} \vec F\, d\vec s [/mm]

Laut Wikipedia (:-)) ist [mm] W_{1,2}= - \int_{V1}^{V2} P\, dV [/mm], das ist doch eigentlich die hier gesuchte Arbeit, die der Kolben aufwenden muss um das Gas zu expandieren?

        
Bezug
Textaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 Sa 26.04.2014
Autor: Ladon

Hallo jayw,

gehört eine solche Frage nicht eher zu den Naturwissenschaften? Mir soll es egal sein.
Ich würde folgendermaßen vorgehen. Der Hinweis auf die Antiproportionalität entspricht dem []Boyle´schen Gesetz, das bei T,n=const. gilt.
Es ist bekannt, dass [mm] $\Delta w=-F\cdot s=-F\cdot \Delta [/mm] x $ mit s: Strecke und [mm] \Delta x=x_E-x_A [/mm] ist. Für infinitesimal kleine Änderungen gilt:
[mm] $dw=-F\cdot [/mm] dx$. Der Druck p ist definiert als Kraft pro Fläche:
[mm] $p=\frac{F}{A}\gdw F=p\cdot [/mm] A$.
Damit erhält man
[mm] $dw=-p\cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] dx$.
Das Volumen ist aber gerade [mm] $V=A\cdot [/mm] x$ bzw. für infinitesimal kleine Änderungen [mm] $dV=A\cdot [/mm] dx$.
Also ist $dw=p [mm] \cdot [/mm] dV$.
Mit Integration folgt
[mm] $w=-\integral_{V_A}^{V_E}pdV=-p\Delta [/mm] V$ mit [mm] \Delta V=V_E-V_A [/mm] bei konstatem Druck (!), d.h. isobaren Verhältnissen.
Falls man bei isothermen Verhältnissen arbeitet (T,n=const.), dann kann man mit dem Boylschen Gesetz (besser mit der idealen Gasgleichung)
[mm] p=\frac{c}{V} [/mm] mit Konstante c (oder besser: [mm] p=\frac{nRT}{V}) [/mm] in das Integral einsetzen und erhält:
[mm] w=-nRT\integral_{V_A}^{V_E}\frac{1}{V}dV=-nRT\cdot ln(\frac{V_E}{V_A}). [/mm]
Ich denke das sollte als erste Hilfestellung reichen ;-)

LG Ladon
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Textaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Sa 26.04.2014
Autor: jayw

Vielen Dank, das hat schonmal sehr geholfen.
Zur Frage ob das nicht eher naturwissenschaftlich sei:
Das ist eine Aufgabe von unserem Matheprof, und da wir gerade bei gew. DGL sind, nahm ich an das es auch zu diesem Thema ist ;)

Ich habe jetzt: (ich verwende K statt nRT, ist ja Mathe und nicht Physik ;))

W=K*ln(20)
W [mm] \approx [/mm] 3*K


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Textaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Sa 26.04.2014
Autor: Ladon

Das sieht schon besser aus!
Du solltest vielleicht ausführlich [mm] w=-K\cdot ln(\frac{20V}{V}) [/mm] schreiben. Außerdem hast du das negative Vorzeichen vergessen. Bei einer Expansion muss das System Arbeit leisten, daher negativ.

LG Ladon
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Textaufgabe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:51 So 27.04.2014
Autor: jayw

Vielen Dank! Lässt sich das mit dem negativen Vorzeichen auch irgendwie mathematisch herleiten?
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Textaufgabe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Di 29.04.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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