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Textaufgabe: Gleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Sa 04.06.2016
Autor: b.reis

Aufgabe
in Ihrem Rechnerpool stehen 100 Maschinen. Mehr als die Hälfte davon haben 64 GB Hauptspeicher, die meisten anderen sind ältere Kisten mit nur 21GB Hauptspeicher, aber Sie haben auch einige Server mit 512GB Hauptspeicher. Insgesamt sind 7522 GB Hauptspeicher in Ihrem Rechnerpool versammelt. Wieviele der einzelnen Rechner/Maschienen haben Sie ?

Hinweis: Punkte gibt es für die vollständige Angabe des Rechtswegs, wobei der erweiterte Euklidische Algorithmus sinnvoll zur Lösung eingesetzt werden muss.


Hallo

Also ich habe erstmal keine Ahnung und hab dann einfach zusammengefasst.

100 Rechner

x*64GB wobei x>50
y*21GB wobei y>25
z*512 wobei z<25

64x+21y+512z=7522

Es gibt Lösungen für einzelnen Variablen die dann wieder von anderen Variablen abhängen, aber ich muss ja jede einzelne bestimmen..

Kann mir jemand helfen ?


Danke

benni

        
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Textaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Sa 04.06.2016
Autor: M.Rex

Hallo

Du hast noch eine Gleichung vergessen, nämlich x+y+z=100.


Du bekommst also das unterbestimmte Gleichungssystem aus
Gleichung 1: x+y+z=100
Gleichung 2: 64x+21y+512z=7522

Das schreit geradezu nach einer parameterbehafteten Lösung dieses LGS

Danach kannst du, wenn du die Werte für x, y und z in Abhängigkeit dieses Parameters ermittelt hast, die Nebenbedingungen einbauen, nämlich
[mm] x,y,z\in\IN|50
Marius

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Textaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:22 Sa 04.06.2016
Autor: b.reis

Hallo und vielen Dank für die Antwort


Die Aufgabe soll mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus gelöst werden.

Dieser berechnet den größten gemeinsamen Teiler einer linearen Gleichung und zwei variablen s und t, die in die Gleichung eingesetzt werden,die dann den größten gemeinsamen Teiler ergibt. Die Gleichung wird dann mal 7522 genommen und aus s mal 7522 und t mal 7522 (7522 ist die Zahl rechts vom = der ursprünglichen Gleichung) wird x und y als ganzzahlige Lösung der Gleichung.

Beispiel:

30x+77y=23

s und t werden REKURSIV bestimmt und für x und y eingesetzt.


https://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus

Dieses Verfahren muss angewendet werden.
Also entweder muss eine Variable durch die 2 anderen ersetzt werden oder wie auch immer, ich habe keine Ahnung , bin mir aber sicher, dass es eine relativ einfache Lösung gibt.

Danke

benni

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Textaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Sa 04.06.2016
Autor: HJKweseleit

Hinweis:8*64=512

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Textaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Sa 04.06.2016
Autor: b.reis

Ok, also ich weiß nun, dass der größte gemeinsame Teiler von 64 und 512 8 ist.

Ich weiß außerdem, dass dann z ein Vielfaches von x ist. Dann könnte ich bei meiner Gleichung eine der Variablen streichen oder so ??

Also x+y+8*x=100

und 64x+21y+8*64*x=7522

???

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Textaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Sa 04.06.2016
Autor: sinnlos123

Hi, der ggT(64,512) ist 64, denn 64*8=512 und 1*64=64.

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Textaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Sa 04.06.2016
Autor: b.reis

ups

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Textaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:03 So 05.06.2016
Autor: HJKweseleit


> Ok, also ich weiß nun, dass der größte gemeinsame Teiler
> von 64 und 512 8 ist.
>
> Ich weiß außerdem, dass dann z ein Vielfaches von x ist.
> Dann könnte ich bei meiner Gleichung eine der Variablen
> streichen oder so ??
>  
> Also x+y+8*x=100
>  
> und 64x+21y+8*64*x=7522
>  
> ???

Nein, das x bei 64 und das bei 8*64 muss nicht identisch sein.

Mach so:

64*x+21*y=7522.

Nehmen wir mal an, es gäbe eine Lösung mit x=109.

Dann hättest du 109*64 GB und damit mehr als 100 Geräte. Aber ein Teil davon hat ja 256 GB = 8*64 GB. und somit*

(r+8s)*64+21*y =7522,

Wobei r+8s=109 gilt, r>50 sowie r+s=100-y sein soll.
Da du auch y kennst, kannst du as der 1. und 3. Bedingung r und s bestimmen.




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Textaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 So 05.06.2016
Autor: b.reis

Ok, also ich weiß nun, dass der größte gemeinsame Teiler
> von 64 und 512 8 ist.
>
> Ich weiß außerdem, dass dann z ein Vielfaches von x ist.
> Dann könnte ich bei meiner Gleichung eine der Variablen
> streichen oder so ??
>  
> Also x+y+8*x=100
>  
> und 64x+21y+8*64*x=7522
>  
> ???

Nein, das x bei 64 und das bei 8*64 muss nicht identisch sein.

Mach so:

64*x+21*y=7522.

Nehmen wir mal an, es gäbe eine Lösung mit x=109.

Dann hättest du 109*64 GB und damit mehr als 100 Geräte. Aber ein Teil davon hat ja 256 GB = 8*64 GB. und somit*

(r+8s)*64+21*y =7522,

Wobei r+8s=109 gilt, r>50 sowie r+s=100-y sein soll.
Da du auch y kennst, kannst du as der 1. und 3. Bedingung r und s bestimmen.

---------------------------------------------------------
Woher soll ich denn y kennen ?

ich kann nur nach y auflösen r+s=100-y   y=100-(r+s)


und dann r und s Bestimmen ?

Ich habe keine Ahnung wie ich das rechnen soll und ich muss das heute abgeben, also wenn mir jemand zeigt wie ich auf 2 Variablen komme mit denen ich den erweiterten euklidischen Algorithmus ausrechnen wäre das super.



Danke

benni


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Textaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 So 05.06.2016
Autor: sinnlos123

Hi

ich hab keine Ahnung wie man das mit Euklid macht, ABER: raten ist nicht unerlaubt, von daher:

x=69
y=26
z=5

Wie ich das gemacht habe:

56x+21y+512z=7522
x+y+z=100 |nach z umstellen
z=100-x-y |in erste einsetzen
nach ein wenig rechnen hast du dann diese zeile:
448x+491y=43678

So nach y umstellen:
y=(43678-448x)/491
Nun habe ich in Excel einfach eine Tabelle gemacht
1.Spalte: 43678-Vielfache von 448
2.Spalte: 448, damit man einfacher mit Zelle-Zelle arbeiten kann
3. Spalte: Zelle in Spalte 1 durch 491 teilen
4. Spalte: "run counter" damit man das richtige X bestimmt (hätte man vermeiden können)

Wenn du so oder so ähnlich arbeitest, siehst du, dass nur für x=69 ein Integer Ergebnis rauskommt.
y kannst du dann leicht ausrechnen
und z=100-x-y

Hoffe dir hilfts zumindest für ein Punkt :)

Bezug
                                                        
Bezug
Textaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 So 05.06.2016
Autor: HJKweseleit

Wir halten fest:

256 ist das 8-fache von 64.
Wir brauchen Vielfache von 64 und Vielfache von 256, also letztlich nur zunächst Vielfache von 64.
Außerdem brauchen wir Vielfache von 21.

Somit haben wir das Problem zu lösen:

64x+21y=7522

Ich teile 7522:21=358 Rest 4, also: 7522=358*21+4     (1)

Außerdem sieht man sofort: 64=3*21+1, also 64-3*21=1  (2)


Für die 4 in (1) setze ich nun 4mal die linke seite von (2) ein:

7522=358*21+4*(64-3*21)=346*21+4*64.

Damit habe ich eine Möglichkeit für die Verteilung gefunden, die aber noch nicht den anderen Bedingungen entspricht (über 100 21-er).

Dies wäre die extremste Verteilung: Maximum für die 21-er und Minimum für die 64-er.

Die umgekehrte Variante besteht darin, aus 346*21 soviel 64-er wie möglich herauszulösen.

346:64=5 Rest 26, somit               (3)

7522=346*21+4*64=(5*64+26)*21+4*64=105*64+26*21+4*64=109*64+26*21  

Nun probieren wir: In den 64-ern stecken auch 256-er. Tatsächlich sind es nur r 64-er und s 256-er, zusammen:

r+s+26=100, also r+s=74
r+8s=109, die 7 zusätzlichen s gäben dann 35, also s=5.

Somit:

69 64-er
5 256-er
26 21-er

----------------------------
Gibt es weitere Lösungen?


In (3) könnten wir nur 4 64-er herauslösen:
346=4*64+90 und damit

7522=346*21+4*64=(4*64+90)*21+4*64=84*64+90*21+4*64=88*64+90*21

Wenn nun alle rechnerischen 64-er tatsächlich 256-er wären, hätten wir 11 davon und 90 21-er, also 101>100 Geräte.

Weitere Lösungen sind noch weiter von den Vorgaben entfernt, so dass nur die obige Lösung passt.




Variante:

Man hätte 7522 auch durch 64 statt durch 21 dividieren können:

7522:64=117 Rest 34, also 7522=117*64+34

Wieder ersetzt man nun die 34 durch 34*(64-3*21) und erhält

7522=117*64+34*(64-3*21)=151*64-102*21

Da die 21-er nicht negativ sein dürfen, muss man sich links mindestens 2*64=128  21-er herüberholen

7522=151*64-102*21=(2*21+109)*64-102*21=128*21+109*64-102*21=26*21+109*64 wie oben.

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