Textaufgabe < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Mi 14.02.2007 | | Autor: | ZehEs |
| Aufgabe | | Das Volumen einer zylindrischen Saftdose beträgt 330 cm³. Die Deckelflächen der Dose sind aus Pappe, während die Mantelfläche aus Metall besteht. Wie muss man die Abmessungen wählen, damit bei dem vorgegebenen Volumen die Herstellungskosten minimal sind? ( Der Preis für Metall ist doppelt so hoch wie für Pappa) |
So das is die aufgabe und ich komme schon am anfang nicht weiter.
gesucht ist ja allem anschein nach der Tiefpunkt.
allerdings komm ich nicht damit klar wie ich aus dieser Textaufgabe eine vernünftige Funktion herausbekommen kann.
Das wäre meine erste Frage : Wie lautet die Funktion dafür?
bitte die Aufgabe noch nich vollständig lösen ,da ich denke das ich auf den Tiefpunkt alleine komme, wenn ich die Funktion erst mal habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Mi 14.02.2007 | | Autor: | Walty |
> Das Volumen einer zylindrischen Saftdose beträgt 330 cm³.
> Die Deckelflächen der Dose sind aus Pappe, während die
> Mantelfläche aus Metall besteht. Wie muss man die
> Abmessungen wählen, damit bei dem vorgegebenen Volumen die
> Herstellungskosten minimal sind? ( Der Preis für Metall ist
> doppelt so hoch wie für Pappa)
> So das is die aufgabe und ich komme schon am anfang nicht
> weiter.
> gesucht ist ja allem anschein nach der Tiefpunkt.
> allerdings komm ich nicht damit klar wie ich aus dieser
> Textaufgabe eine vernünftige Funktion herausbekommen kann.
> Das wäre meine erste Frage : Wie lautet die Funktion
> dafür?
> bitte die Aufgabe noch nich vollständig lösen ,da ich
> denke das ich auf den Tiefpunkt alleine komme, wenn ich die
> Funktion erst mal habe.
Was ist gegeben?
-Preise [mm]p_{Metall}=2*p_{Pappe}[/mm]
-zylindrische Form -> materialverbrauch Pappe: 2 Kreise, Metall: 1 Rechteck
bestimmende Größen: Radius r und Höhe h
-Nebenbedingung: Dose fasst 330ml
1. Das Volumen eines Zylinders: [mm]V(r,h); V_{Dose}(r,h)=330 => r=f_{Vr}(h)[/mm], oder [mm]h=f_{Vh}(r)[/mm]
2. Die Oberfläche= [mm]2*Deckelflaeche + Mantel => 2*A_{D}(r)+ A_{M}(r,h) = 2*A_{D}(r)+ A_{M}(r,f_{Vh}(r))[/mm]
3. Gesamtpreis[mm]= 2*p_{Pappe}*Deckelflaeche + 2*p_{Pappe}*Mantel[/mm]
=> in 3. kann man [mm]2*p_{Pappe}[/mm] ausklammern und zum Preis rüberholen, so dass letztendlich die Funktion
[mm]P_{1}(r)=Deckelflaeche(r) + Mantelflaeche(r,f_{Vh}(r))[/mm]
nun [mm] P_{1}(r) [/mm] mit [mm] P_{1}'(r), [/mm] und [mm] P_{1}''(r) [/mm] diskutieren...
[mm] r_{0} [/mm] in Zentimetern!
Ichhoffe, das ist nachvollziehbar!?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mi 14.02.2007 | | Autor: | ZehEs |
Um ehrlich zu sein hab ich das nicht wirklich verstanden...
Kannst du mir eventuell die in den Klammern stehenden buchstaben erklären und was es mit dem (,) auf sich hat? [mm] Mantelflaeche(r,f_{Vh}(r))
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Mi 14.02.2007 | | Autor: | Walty |
> Um ehrlich zu sein hab ich das nicht wirklich
> verstanden...
>
> Kannst du mir eventuell die in den Klammern stehenden
> buchstaben erklären und was es mit dem (,) auf sich hat?
> [mm]Mantelflaeche(r,f_{Vh}(r))[/mm]
entschuldige bitte - Ich bin immer zu kompliziert
*zusammenreiss - gg*
[mm]V(r,h)[/mm] heisst, das Volumen des Zylinders hängt von den beiden Variablen [mm]r[/mm] und [mm]h[/mm] ab. [mm] V=\pi*r^2*h
[/mm]
Da das Volumen aber gegeben ist [mm] (V_{0}=330ml), [/mm] kann ich hier h durch r ausdrücken.
Einfacher geschrieben als oben: [mm] h=f(r)=\bruch{V_{0}}{\pi*r^2}.
[/mm]
Nun ist die (abgerollte) Mantelfläche = Umfang mal Höhe = [mm]2\pi*r * h = 2\pi*r * f(r)= \bruch{2V_{0}}{r}[/mm]
So da? -leduarts Hinweis- aufgreifend
[mm]K(r)=Deckelflaeche(r) + Mantelflaeche(r)=\pi*r^2+ \bruch{2V_{0}}{r}[/mm]
und ab hier Diskussion von K(r)...
ist das jetzt etwas deutlicher geworden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Mi 14.02.2007 | | Autor: | ZehEs |
ja gut dann werd ich das mal lösen danke schonmal für die erklärung ;D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mi 14.02.2007 | | Autor: | ZehEs |
hm aber dann hab ich ja noch keinen Preis Rausgefunden...
also bisher hab ich:
f(r)= [mm] \bruch{660cm^3}{r} [/mm] + [mm] \pi *r^2
[/mm]
aber was bringt mir das irgendwie macht mich diese Aufgabe confus^^
Könnte die vll doch ganz gelöst werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mi 14.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> hm aber dann hab ich ja noch keinen Preis Rausgefunden...
>
> also bisher hab ich:
>
> f(r)= [mm]\bruch{660cm^3}{r}[/mm] + [mm]\pi *r^2[/mm]
>
> aber was bringt mir das irgendwie macht mich diese Aufgabe
> confus^^
jetzt noch die Extremwerte von f(r) suchen und Du bist fertig.
Dieser Radius bestimmt die Höhe und minimiert die Kosten.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mi 14.02.2007 | | Autor: | ZehEs |
okay die ableitung von
[mm]f(r)= \bruch{660cm^3}{r}[/mm]
ist
[mm] f'(r)= \bruch {660cm^3}{-r^2} [/mm]
stimmt das so??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mi 14.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
da fehlt aber noch der zweite Term, der abgeleitet werden muss.
mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mi 14.02.2007 | | Autor: | ZehEs |
ach hab ich das vergessen okay nochmal:
[mm]f'(r)=\bruch {660cm^3}{-r^2} + 2 \pi *r [/mm]
[mm] f''(r)=\bruch {660cm^3}{r^4}+ 2 \pi [/mm]
2 ableitung auch richtig???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mi 14.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> ach hab ich das vergessen okay nochmal:
>
> [mm]f'(r)=\bruch {660cm^3}{-r^2} + 2 \pi *r[/mm]
>
> [mm]f''(r)=\bruch {660cm^3}{r^4}+ 2 \pi[/mm]
>
> 2 ableitung auch richtig???
Nein, die zweite Ableitung ist
[mm] \br{2*660}{r^3}+2\pi
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mo 19.02.2007 | | Autor: | ZehEs |
okay dann muss ja r auf jeden fall > 0 sein
doch was bekomm ich dann für ne einheit raus wenn ich die daten in ein koordinaten system einzeichnen will
r für radius auf der x-Achse also cm und auf der y-Achse?
und wieso sind bei der 3 ableitung die [mm] cm^3 [/mm] weg???
wie ann ich f(r) null setzten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mo 19.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du Preise ausrechnest, sind auf der y-achse preis in willkuerlichen einheiten aufgetragen.
Dass ulim in f'' die [mm] cm^3 [/mm] weggelassen hat sagt nix, die laesst man fuers reine rechnen oft weg. erst am Ende wieder fuer r einsetzen. die Einheit [mm] Preis/cm^2 [/mm] hast du ja auch weggelassen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mo 19.02.2007 | | Autor: | ZehEs |
gut aber wie kann ich:
[mm]f(x)=x^2*\pi+\bruch{660}{x}[/mm] gleich null setzen?
danke schonmal
mfg Zehes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Mo 19.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib einfach statt f(x) ne 0!
und dann multiplizier das ganze mit x, alles mit x auf eine seite, ohne x auf die andere, wenn noetig wurzeln ziehen fertig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 19.02.2007 | | Autor: | ZehEs |
hm mir fällt grad auf zum extremum berechnen mus ich ja die erste ableitung= 0 stzen oder?
[mm] 2*\pi*x [/mm] + [mm] \bruch{660}{-x^2} [/mm] = 0 | [mm] *-x^2
[/mm]
x= -4, 718
das hab ich dann raus aber das kann irgendwie nicht richtig ein da ja ein tiefpunkt gesucht ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mo 19.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ein bissel sorgfaeltiger rechnen wuerd dir viel Schreiberei sparen! -uns auch-
> hm mir fällt grad auf zum extremum berechnen mus ich ja die
> erste ableitung= 0 stzen oder?
>
> [mm]2*\pi*x[/mm] + [mm]\bruch{660}{-x^2}[/mm] = 0 | [mm]*-x^2[/mm]
daraus [mm] -2\pi*x^3+660=0
[/mm]
daraus [mm] x^3=660/(2\pi) [/mm]
> x= -4, 718
falsch!
> das hab ich dann raus aber das kann irgendwie nicht richtig
wenn du was so komisches raus hast, setz es doch in die urspruengliche Gl. ein d.h. Probe! und dann rechne nochmal und achte auf Vorzeichen!!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mo 19.02.2007 | | Autor: | ZehEs |
aber auch +4,718 ist falsch da ich dann einen tiefpunkt von f(4,718)= 209,82 wäre..
da ich den graphen schon per exel hab eichnen lassen ist dort zwar in etwa dieser wert aber laut grapg ist dort nich der tiefpunkt.. der ist etwa bei x=14,5
es tut mir leid das ich so schlecht in diesem thema bin ;D aber könnten sie mir diese rechnung vll einmal komplett ausrechnen ?
danke schonmal
mfg Zehes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Mo 19.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Graph muss falsch sein, meiner zeigt ein Min zwischen 4 und 5! Wenn deine 14,.. richtig waer, haette die Dose ne Hoehe von ca 0,5cm! und nen Durchmesser von 28cm!
Sieh nach, was du geplottet hast! der errechnete Wert ist richtig!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mi 14.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst die Kosten minimieren! Also musst du die Funktion K aus r und h zusammensetzen mit der Nebenbedingung v=330.
da es nur auf das Verhaeltnis Preis Pappe:Preis Metall ankommt setz Preis Pappe [mm] =1Einheit/cm^2 [/mm] dann preis metall= 2 [mm] Einheit/cm^2
[/mm]
Ich denk, damit solltest du weiterkommen
Gruss leduart
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