Textaufgabe DGL aufstellen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Für die Behandlung von Zahnschmerzen gibt es zwei verschiedene Schmerzmittel: S1 und S2. Innerhalb der A Zahnärzte gebe es eine Menge von Ärzten, die nur S1 verschreiben. Es sei m(t) die Anzahl dieser Ärzte zum Zeitpunkt t. Die anderen Ärzte verschreiben nur S2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arzt, der bis heute immer nur S2 verschrieben
hat, seine Meinungändert und ein Rezept für S1 schreibt, erhält man additiv aus der Wahrscheinlichkeit p [mm] \in \IR_+, [/mm] dass er S2 nicht mehr effektiv findet und der, zur Anzahl der Ärzte, die nur S1 verwenden, proportionalen Wahrscheinlichkeit q [mm] \in \IR_+, [/mm] dass er durch eine Diskussion von S1 jetzt überzeugt wird. Stellen Sie eine Differentialgleichung für m(t)
auf und l¨ osen Sie diese zum Anfangswert m(0) = 0. |
Meine Frage ist, wie die DGL [mm] m(t+\Delta [/mm] t) aussieht, mit der man dann m(t) errechnen kann.
Ich habe die folgende Dgl aufgestellt:
[mm] m(t+\Delta t)=S1+\Delta [/mm] t(p*S2+q*S1)
Ist die richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Sa 06.11.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo Peon,
zunächst mal möchte ich klarstellen, dass ich Zahnärzte nicht leiden kann und, dass solche Textaufagen immer etwas Spielraum für Interpretationen lassen.
Aber nun zu deiner Lösung: Ich verstehe die Aufgabe genauso wie du, aber die Angaben S1 und S2 sind die Schmerzmittel, die Anzahl der Äzte, die diese verwenden sind m bzw. A-m.
Ich würde die DGL deshalb in der Form:
m'(t) = p(A-m(t)) + q m(t)
schreiben.
In jeden Fall ist es eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten, d.h. sie läßt sich lösen
( und die Lösung muß für t [mm] \to \infty [/mm] gegen A streben, d.h. im Limes sind alle Zahnärzte gleich! )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Peon |
Hallo,
ach ja S2, S1 sind ja die Mittel...
Naja, liefert mir das dann die DGL:
[mm] m(t+\Delta t)=m(t)+(p*(A-m(t))+q*(m(t))*\Delta [/mm] t
Wenn man nun -m(t) rechnet und durch [mm] \Delta [/mm] t dividiert erhält man:
[mm] \bruch{m(t+\Delta t)-m(t)}{\Delta t}=p*(A-m(t))+q*(m(t)
[/mm]
Auf der linken Seite, steht das selbe wie m'(t) und damit die DGL, die du aufgestellt hast, richtig?
Noch eine Frage, wir müssen immer begründen, warum man an der Stelle differenzieren darf. Es handelt sich ja eigentlich um diskrete Werte (es gibt ja leider keine halben Zahnärzte), aber hier nimmt man eine reell-wertige Näherung und hat somit etwas, was stetig und diffbar ist? Kann man das als Grund nennen?
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Sa 06.11.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
dann haben wir also die gleiche DGL gefunden.
Wenn man jetzt zu bestimten Zeitpunkten die Zahnärzte nach ihrer Meinung fagen würde und daraus die Änderung der Anzahl der Zahnärzte, die S1 bevorzugen ermittelt, bekäme man eine Diffferenzengleichung. Die Differenzialgleichung ist gewissermaßen der Genzwert davon, d.h. man fragt zu jedem Zeitpunkt die Zahnärzte nach ihrer Meinung. Wenn man annimmt, dass die Zahnärzte ihre Meinung nicht sprunghaft sondern stetig ändern - und das ist nur eine Ahnnahme, niemand kann begründen, dass es wirklich so ist! - dann kommt man zu obiger Differentialgleichung. Dieses Problem hat man an vielen Stellen in der Physik, Ökonomie usw. Differentialgleichungen sind mathematisch (relativ) leicht zu handhaben, aber sie stellen immer eine Idealsierung der Wirklichkeit dar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Peon |
Danke, das hat mir den Zusammenhang verdeutlich und so hatten wir das auch in der letzten Übung: Es handelt sich immer um eine Näherung, die mit dem Modell der zugrunde liegenden DGL beschrieben werden soll.
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Peon |
SO habe mich mal an die Lösung der DGL gemacht. Bin mir nur ein bisschen unsicher, wil du geschrieben hast, dass es eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten ist. Aber handelt es sich nicht um eine DGL die mittel Variation der Konstanten zu lösen ist, oder sind das 2 Paar Schuhe? hier meine Rechnung:
m'(t)=p*A-(p+q)m(t)
VdK liefert homogene Dgl:
m'(t)=-(p+q)m(t)
[mm] =>\integral_{}{}{\bruch{1}{m(t)}dm}=\integral_{}{}{-(p+q)*m(t)dt}
[/mm]
=>ln(m(t))=-t*(p+q)+c
[mm] =>m(t)=c_1*e^{-t(p+q)}
[/mm]
[mm] =>m'(t)=c'_1*e^{-t(p+q)}=pA
[/mm]
[mm] =>c'_1=pA*e^{t(p+q)}
[/mm]
[mm] =>c_1=\integral_{}{}{p*A*e^{t(p+q)}dt}
[/mm]
[mm] =>c_1=\bruch{pA}{(p+q)}*e^{t(p+q)}+c_2
[/mm]
[mm] =>m(t)=(\bruch{pA}{(p+q)}*e^{t(p+q)}+c_2)*e^{-t(p+q)}
[/mm]
[mm] =>m(t)=\bruch{pA}{(p+q)}+c_2*e^{-t(p+q)}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 So 07.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> SO habe mich mal an die Lösung der DGL gemacht. Bin mir
> nur ein bisschen unsicher, wil du geschrieben hast, dass es
> eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten ist. Aber
> handelt es sich nicht um eine DGL die mittel Variation der
> Konstanten zu lösen ist, oder sind das 2 Paar Schuhe? hier
> meine Rechnung:
>
> m'(t)=p*A-(p+q)m(t)
> VdK liefert homogene Dgl:
> m'(t)=-(p+q)m(t)
>
> [mm]=>\integral_{}{}{\bruch{1}{m(t)}dm}=\integral_{}{}{-(p+q)*m(t)dt}[/mm]
> =>ln(m(t))=-t*(p+q)+c
> [mm]=>m(t)=c_1*e^{-t(p+q)}[/mm]
> [mm]=>m'(t)=c'_1*e^{-t(p+q)}=pA[/mm]
> [mm]=>c'_1=pA*e^{t(p+q)}[/mm]
> [mm]=>c_1=\integral_{}{}{p*A*e^{t(p+q)}dt}[/mm]
> [mm]=>c_1=\bruch{pA}{(p+q)}*e^{t(p+q)}+c_2[/mm]
> [mm]=>m(t)=(\bruch{pA}{(p+q)}*e^{t(p+q)}+c_2)*e^{-t(p+q)}[/mm]
> [mm]=>m(t)=\bruch{pA}{(p+q)}+c_2*e^{-t(p+q)}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Ja
FRED
> DANKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:38 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Peon |
Die DGL ist falsch. Habe sie mit einem Kommiltionen verglichen und es fehlt ein (A-m(t)), daaus ergibt sich:
[mm] m(t+\Delta t)=m(t)+\Delta [/mm] t(p(A-m(t))+q(m(t)*(A-m(t))))
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