Textaufgabe Lineare Gleichung < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Wasserbehälter kann durch 3 Röhren gefüllt werden. Wird nur die erste Röhre benutzt, so dauert die Füllung 3 Stunden. Die zweite Röhre allein benötigt für die Füllung 4 Stunden und wenn nur die dritte Röhre aktiv ist, dauert die Füllung 6 Stunden.
Frage: In welcher Zeit wird der Behälter gefüllt, wenn alle 3 Röhren gleichzeitig laufen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend,
die o.g. Matheaufgabe zerbricht mir, meiner Klasse und mittlerweile auch meiner Familie den Kopf.
Mittlerweile habe ich 2 Lösungsansätze:
1) Ich habe jeweils die "Leistung" der jeweiligen Rohre auf 1 Stunde heruntergerechnet:
Rohr 1 füllt den Behälter in einer Stunde zu [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Rohr 2 füllt den behälter in einer Stunde zu [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Rohr 3 füllt den Behälter in einer Stunde zu [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Rohr 1 + 2 + 3 füllen den Behälter in einer Stunde zu [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Rohr 1+2+3 füllen den Behälter in x Stunden komplett.
Also:
[mm] (\bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6})x [/mm] = 1
Bei diesem Ansatz bekomme ich die Lösung 1 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] heraus, also 80 Minuten, also 1 Stunde und 20 Minuten.
Den Lösungsansatz haben wir aber nach viel hin und her irgendwie zusammengeschustert und ich versteh ihn ganz ehrlich nicht wirklich. Wieso das x ?
In meinem 2. Lösungsansatz mache ich es ohne das x (wieder habe ich die "Leistung" der Rohre auf 1 Stunde herunter gerechnet):
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] = 1
In einer Stunde schaffen also alle 3 Rohre gleichzeitig [mm] \bruch{3}{4}. [/mm] Also fehlt noch [mm] \bruch{1}{4}. \bruch{1}{4} [/mm] Stunde sind 15 Minuten. Es würde also herauskommen: 1 Stunde und 15 Minuten.
Könnt ihr mir helfen?
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo marvinthebox,
bei diesen Aufgaben muss man sich einmal die Mühe machen, geeignete Einheiten festzulegen und sollte dann nachprüfen, ob wirklich die gleichen Einheiten rechts und links des Gleicheitszeichens stehen.
Das Herunterrechnen auf die Füllmenge pro Stunde ist ja schon ein guter Ansatz. Da steht also, mit Einheiten, so was wie
(1/3 Füllung pro Stunde + 1/4 Füllung pro Stunde + 1/6 Füllung pro Stunde) * x Stunden = 1 Füllung. Da bekommst Du durch Auflösen nach x also 4/3 Stunden raus.
Deine zweite Gleichung ist keine Gleichung, denn 3/4 sind nun mal nicht 1. Was Du hier, ohne das x miteinander verwurschtelst, sind, Füllmenge und Zeit. Das ist aber keine Gleichung. Du sagst, was ja auch stimmt, dass nach einer Stunde die Wanne dreiviertel voll ist. Dann fehlen aber keine 15 Minuten, sondern eine Viertel Wanne, die noch zu füllen ist. Aus dieser Viertel Wanne werden auf mysteriöse Art und Weise 15 Minuten. Merkst Du, wo Dein Gedankenfehler lag?
Viele Grüße,
Infinit
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Danke schonmal, dass bei dem 2. Lösungsansatz irgendwie keine Gleichung mehr existiert, habe ich mir gedacht, konnte es aber nicht begründen. Deine Erklärung hat nun Licht ins Dunkel gebracht.
Die Erklärung zur richtigen Lösung hab ich noch immer nicht verstanden. Steht nun auf der rechten Seite die Einheit Stunden (also 1) oder die Füllung (1) ?
Darüber muss ich noch nachdenken, werde mich morgen wieder melden, Danke schon mal!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
Du hast doch mit Füllung pro Stunde gerechnet und amit steht, von den Einheiten her betrachtet, auf der linken Seite
[mm] \bruch{3}{4} \bruch{\text Fuellung}{\text Stunde} \cdot x {\text Stunden [/mm] und auf der rechten Seite
[mm] 1 {\text Fuellung} [/mm] . Die Einheiten rechts und links sind gleich.
Viele Grüße,
Infinit
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Da mich das mit der 1 irritiert und ich es noch immer nicht verstanden habe, trotz deiner Erklärung, habe ich nun mal versucht von der 1 wegzukommen und mit 60 Minuten zu rechnen.
Rohr 1 schafft es, den Behälter in 3 Stunden zu füllen.
Rohr 2 schafft es, den Behälter in 4 Stunden zu füllen.
Rohr 3 schafft es, den Behälter in 6 Stunden zu füllen.
Nun habe ich die Stunden in Minuten umgeformt:
Rohr 1 schafft es, den Behälter in 180 Minuten zu füllen.
Rohr 2 schafft es, den Behälter in 240 Minuten zu füllen.
Rohr 3 schafft es, den Behälter in 360 Minuten zu füllen.
Das bedeutet also für die Fülllleistung pro 60 Min:
Rohr 1 schafft in 60 Minuten [mm] \bruch{1}{3} [/mm] Füllung.
Rohr 2 schafft in 60 Minuten [mm] \bruch{1}{4} [/mm] Füllung.
Rohr 3 schafft in 60 Minuten [mm] \bruch{1}{6} [/mm] Füllung.
Die Brüche (60 geteilt durch die Minuten) bleiben gleich wie in dem anderen Rechenweg, allerdings steht nun keine 1 mehr auf der rechten Seite, sondern die 60.
[mm] (\bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6})x [/mm] = 60
[mm] \bruch{3}{4}x [/mm] = 60
x = 80
Wie man sieht bekommt ja nun 80, also 80 Minuten, also 1 Stunde und 20 Minuten, was ja auch korrekt ist.
Aber nun steht ja rechts nicht die Füllung pro Stunde, sondern die Minuten.. und das bedeutet ja nicht 60 Füllungen pro Stunde ? Und auch nicht Füllung pro 60 Minuten ? Sondern eigentlich Füllungen pro Minute ?! Das versteh ich einfach nicht.
Denn in 60 Minuten schafft das eine Rohr ja schon [mm] \bruch{1}{3} [/mm] , das zweite Rohr [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und das dritte Rohr [mm] \bruch{1}{6} [/mm] - warum wird das dann noch mit x multipliziert? Auf der linken Seite steht doch schon die Leistung in 60 Minuten und rechts stehen die 60 Minuten ?
Irgendwo hab ich einen massiven Denkfehler und habe echtes Kopfzerbrechen bei der Aufgabe
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Hallo
Behälter 1: [mm] \bruch{1}{3} \bruch{Fuellung}{Stunde}
[/mm]
Behälter 2: [mm] \bruch{1}{4} \bruch{Fuellung}{Stunde}
[/mm]
Behälter 3: [mm] \bruch{1}{6} \bruch{Fuellung}{Stunde}
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{3} \bruch{Fuellung}{Stunde} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} \bruch{Fuellung}{Stunde} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} \bruch{Fuellung}{Stunde})*x [/mm] Stunden = 1 Fuellung
Steffi
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