Textaufgabe Salzgehalt in Tank < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Tank [mm] K_1 [/mm] enthalte 100 l Wasser, in dem 5kg Salz aufgelöst sind, ein Tank [mm] K_2 [/mm] 300 l Wasser mit 5 kg. Beginnend zum Zeitpunkt [mm] t_0 [/mm] =0 werden pro Minute ständig 10 l Salzlösung von [mm] K_1 [/mm] nach [mm] K_2 [/mm] und 10 l von [mm] K_2 [/mm] nach [mm] K_1 [/mm] gepumpt und sofort verrührt. Wie groß ist der Salzgehalt [mm] m_i(t) [/mm] in [mm] K_i [/mm] zur Zeit t>0? Auf welchem Niveau stabilisiert sich schließlich der Salzgehalt in [mm] K_i? [/mm] |
Hallo zusammen,
bearbeite grade folgende Aufgabe und bräuchte dabei ein bisschen Hilfe..
Habe schonmal so angefangen:
Sei [mm] m_i(t)= [/mm] Salzgehalt
[mm] m_1 [/mm] '(t)= [mm] \bruch{1}{10}(m_2 [/mm] - [mm] m_1)
[/mm]
[mm] m_2 [/mm] '(t)= [mm] \bruch{1}{30}(m_1 [/mm] - [mm] m_2) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{30}(m_2 [/mm] - [mm] m_1)
[/mm]
könnte jetzt [mm] (m_2 -m_1) [/mm] als neue Variable s(t) definieren aber jetzt komme ich schon nicht mehr weiter! Habe keine Idee wie ich hier weitermachen soll!
Kann mir vllt jemand ein bisschen helfen?
Gruß,
Kampfkekschen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Mi 29.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hab nicht deine DGl überprüft, ob sie zum Text passt.
aber wenn die 2 Dgl richtig sind, warum schreibst du dann die DGL für dein richtig vermutetes s(t) nicht hin. die Lösung ist eine einfache e- funktion, dann in [mm] m_1' [/mm] einsetzen und integrieren.
wo liegt dabei für dich die Schwierigkeit?
Gruss leduart
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Hallo Kampfkekschen,
> Ein Tank [mm]K_1[/mm] enthalte 100 l Wasser, in dem 5kg Salz
> aufgelöst sind, ein Tank [mm]K_2[/mm] 300 l Wasser mit 5 kg.
> Beginnend zum Zeitpunkt [mm]t_0[/mm] =0 werden pro Minute ständig
> 10 l Salzlösung von [mm]K_1[/mm] nach [mm]K_2[/mm] und 10 l von [mm]K_2[/mm] nach [mm]K_1[/mm]
> gepumpt und sofort verrührt. Wie groß ist der Salzgehalt
> [mm]m_i(t)[/mm] in [mm]K_i[/mm] zur Zeit t>0? Auf welchem Niveau
> stabilisiert sich schließlich der Salzgehalt in [mm]K_i?[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> bearbeite grade folgende Aufgabe und bräuchte dabei ein
> bisschen Hilfe..
> Habe schonmal so angefangen:
>
> Sei [mm]m_i(t)=[/mm] Salzgehalt
>
> [mm]m_1[/mm] '(t)= [mm]\bruch{1}{10}(m_2[/mm] - [mm]m_1)[/mm]
> [mm]m_2[/mm] '(t)= [mm]\bruch{1}{30}(m_1[/mm] - [mm]m_2)[/mm] = - [mm]\bruch{1}{30}(m_2[/mm] -
> [mm]m_1)[/mm]
>
> könnte jetzt [mm](m_2 -m_1)[/mm] als neue Variable s(t) definieren
> aber jetzt komme ich schon nicht mehr weiter! Habe keine
> Idee wie ich hier weitermachen soll!
> Kann mir vllt jemand ein bisschen helfen?
>
> Gruß,
> Kampfkekschen
Ich komme auf folgende zwei DGL:
(1) [mm] $\dot m_1(t)\; [/mm] = [mm] \; -\frac{1}{10}*m_1(t)+\frac{1}{30}*m_2(t) [/mm] $
(2) [mm] $\dot m_2(t)\; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{10}*m_1(t)-\frac{1}{30}*m_2(t) [/mm] $
mit den Lösungen (durch ineinander Einsetzen):
(1) [mm] $m_1(t) \; [/mm] = [mm] \; 2,5kg+2,5kg*e^{-2/15*t}$
[/mm]
(2) [mm] $m_2(t) \; [/mm] = [mm] \; 7,5kg-2,5kg*e^{-2/15*t}$
[/mm]
Irrtum vorbehalten.
LG, Martinius
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