Textaufgabe zu einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Fr 07.11.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Ein ruhig atmender erwachsener Mensch macht etwa 16 Atemzüge
in der Minute. Bei jedem Atemzug werden ungefähr 0,5 Liter Luft in die Lunge aufgenommen. Die ausgeatmete Luft enthält näherungsweise 20% weniger Sauerstoff als die eingeatmete; sie möge sich
mit der Zimmerluft sofort und vollständig vermischen. In einem geschlossenen Zimmer befinden sich V Liter Luft und ein ruhig atmender Erwachsener. t Minuten nach der Zeit [mm] t_0 [/mm] = 0 seien S(t) Liter
Sauerstoff im Zimmer vorhanden und es sei S(0) = [mm] S_0.
[/mm]
a) Überlegen Sie sich, wieviel Liter Sauerstoff in einer kurzen Zeitspanne [mm] \Delta [/mm] t eingeatmet werden.
b) Nehmen Sie an, S(t) wäre bekannt. Wie hoch ist der Sauerstoffgehalt S(t+ [mm] \Delta [/mm] t) noch nach t+ [mm] \Delta [/mm] t Minuten?
c) Betrachten Sie den Grenzübergang [mm] \Delta [/mm] t -->0, geben sie das resultierende Anfangswertproblem an und lösen sie es. |
Hallo,
ich bräuchte Hilfe zu obiger Aufgabe. Ich finde keinen Anfang... Ich verstehe auch schon die Frage 1 nicht. Was soll eine kurze Zeitspanne [mm] \Delta [/mm] t sein?
Für einen Denkanstoß wäre ich dankbar.
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> Ein ruhig atmender erwachsener Mensch macht etwa 16
> Atemzüge in der Minute. Bei jedem Atemzug werden ungefähr 0,5
> Liter Luft in die Lunge aufgenommen. Die ausgeatmete Luft
> enthält näherungsweise 20% weniger Sauerstoff als die
> eingeatmete; sie möge sich
> mit der Zimmerluft sofort und vollständig vermischen. In
> einem geschlossenen Zimmer befinden sich V Liter Luft und
> ein ruhig atmender Erwachsener. t Minuten nach der Zeit [mm]t_0[/mm]
> = 0 seien S(t) Liter
> Sauerstoff im Zimmer vorhanden und es sei S(0) = [mm]S_0.[/mm]
> a) Überlegen Sie sich, wieviel Liter Sauerstoff in einer
> kurzen Zeitspanne [mm]\Delta[/mm] t eingeatmet werden.
> b) Nehmen Sie an, S(t) wäre bekannt. Wie hoch ist der
> Sauerstoffgehalt S(t+ [mm]\Delta[/mm] t) noch nach t+ [mm]\Delta[/mm] t
> Minuten?
> c) Betrachten Sie den Grenzübergang [mm]\Delta[/mm] t -->0, geben
> sie das resultierende Anfangswertproblem an und lösen sie
> es.
> Hallo,
>
> ich bräuchte Hilfe zu obiger Aufgabe. Ich finde keinen
> Anfang... Ich verstehe auch schon die Frage (a) nicht. Was
> soll eine kurze Zeitspanne [mm]\Delta[/mm] t sein?
Hallo rollroll
zu einem Zeitpunkt t sind im Zimmer V Liter Luft
(immer), davon S(t) Liter Sauerstoff. Dabei soll die
Zeit t in Minuten gerechnet werden. Innerhalb einer
Zeitspanne [mm] \Delta{t} [/mm] atmet die Person [mm] $\Delta [/mm] t * 16*0.5\ Liter $
Luft ein. Ist [mm] \Delta{t} [/mm] nur klein, so ändert sich S(t) in
dieser kurzen Zeitspanne nur geringfügig, so dass
man davon ausgehen kann, dass die Menge an
eingeatmetem Sauerstoff innerhalb dieser
Zeitspanne durch
[mm] $\Delta [/mm] t * [mm] 8*\frac{S(t)}{V}\ [/mm] Liter $
gegeben ist (weshalb ?). Wenn du diese Zeile verstanden
hast, bist du wohl auch schon in der Lage, zu Frage (b)
eine Gleichung hinzuschreiben.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Sa 08.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Hallo,
ich konnte zwar die Loesung zu a) nachvollziehen, aber bei b) hänge ich trotzdem. Ich hätte gedacht man muss dann einfach S (t) - den von dir angegebenen Term rechnen.
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> Hallo,
> ich konnte zwar die Loesung zu a) nachvollziehen, aber
> bei b) hänge ich trotzdem. Ich hätte gedacht man muss
> dann einfach S (t) - den von dir angegebenen Term rechnen.
Nein, so ist es nicht, denn in der Lunge wird ja der eingeatmeten
Luft nicht einfach der ganze darin steckende Sauerstoff entzogen,
sondern (gemäß Aufgabenstellung) nur 20% davon. Also
kommen wir auf die (approximative) Gleichung:
$\ S(t+ [mm] \Delta [/mm] t)\ [mm] \approx\ [/mm] S(t)\ -\ [mm] 0.2*\,\Delta [/mm] t [mm] \cdot{} 8\cdot{}\frac{S(t)}{V}\ [/mm] =\ S(t)\ -\ [mm] 1.6\, \cdot \frac{S(t)}{V}*\,\Delta [/mm] t$
Davon ausgehend kann man nun sehr leicht den Differenzen-
quotient (und Differentialquotient) für die Funktion $\ [mm] t\mapsto [/mm] S(t)$
ermitteln.
LG
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mo 10.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Heißt das, ich muss zunächst die approximative Gleichung nach S(t) auflösen und dann den Differenzenquotienten bestimmen? Laut Aufgabenstellung soll ich ja [mm] \Delta [/mm] t --> 0 betrachten.
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> Heißt das, ich muss zunächst die approximative Gleichung
> nach S(t) auflösen und dann den Differenzenquotienten
> bestimmen? Laut Aufgabenstellung soll ich ja [mm]\Delta[/mm] t --> 0
> betrachten.
Guten Abend rollroll
Wir haben: $ \ S(t+ [mm] \Delta [/mm] t)\ [mm] \approx\ [/mm] S(t)\ -\ [mm] 0.2\cdot{}\,\Delta [/mm] t [mm] \cdot{} 8\cdot{}\frac{S(t)}{V}\ [/mm] =\ S(t)\ -\ [mm] 1.6\, \cdot \frac{S(t)}{V}\cdot{}\,\Delta [/mm] t $
Der Differenzenquotient
$\ [mm] \frac{\Delta S}{ \Delta t}\ [/mm] =\ [mm] \frac{S(t+ \Delta t)\ -\ S(t)}{\Delta t}$
[/mm]
ist nun sehr leicht (approximativ) hinzuschreiben.
Dann ist der Grenzwert davon für [mm] $\Delta [/mm] t [mm] \to [/mm] 0$ , also der
Differentialquotient bzw. die Ableitung S'(t) zu ermitteln.
Im vorliegenden Fall ist dies mehr als einfach, da die
vorher vorgenommene Approximation genau der
Linearisierung entspricht, welche auch den Übergang
vom Differenzenquotient zum Differentialkoeffizient
beschreibt.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 10.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Es ist ja
S(t+ [mm] \Delta [/mm] t) - S(t)= - [mm] 1.6\, \cdot \frac{S(t)}{V}\cdot{}\,\Delta [/mm] t , dann durch [mm] \Delta [/mm] t:
[mm] \bruch{ \Delta S}{ \Delta t} [/mm] = [mm] \bruch{S(t + \Delta t) -S(t)}{\Delta t} [/mm] = -1,6 [mm] \bruch{S(t)}{V}
[/mm]
Also ist dann S'(t)=-1,6 [mm] \bruch{S(t)}{V}
[/mm]
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> Es ist ja
> S(t+ [mm]\Delta[/mm] t) - S(t)= - [mm]1.6\, \cdot \frac{S(t)}{V}\cdot{}\,\Delta[/mm]
> t , dann durch [mm]\Delta[/mm] t:
>
> [mm]\bruch{ \Delta S}{ \Delta t}[/mm] = [mm]\bruch{S(t + \Delta t) -S(t)}{\Delta t}[/mm]
> = -1,6 [mm]\bruch{S(t)}{V}[/mm]
>
> Also ist dann $\ S'(t)\ =\ [mm] -1,6\,\bruch{S(t)}{V}$ [/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Richtig.
(Abgesehen davon, dass von den obigen Gleichheitszeichen
zwei bloß approximativ gelten und darum durch " [mm] \approx [/mm] "
zu ersetzen wären ! )
Und jetzt weiter zur Lösung der DGL !
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Di 11.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Ich löse [mm] y'=\bruch{1,6y}{x}. [/mm] Dann ist f(x)=1/x und g(y)=-1,6y
Also F(x)=ln(x) und G(y)=-5/8 *ln(y). Damit -5/8*ln(y)-ln(x)=lnc und [mm] \bruch{1}{xy^{5/8}} [/mm] =c . Also [mm] y(x)=\bruch{1}{(\wurzel[8]{cx)^5}} [/mm]
Was meint ihr?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Di 11.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> Ich löse [mm]y'=\bruch{1,6y}{x}.[/mm]
Das fehlende Minuszeichen ist ein Tippfehler, das ist klar.
Wieso hast Du aus dem V ein x gemacht? Dann soll also Ende y(x) herauskommen. y steht für S, x für V also suchst Du eine Funktion S(V), die also angibt, wie sich die Menge des Sauerstoffs mit dem Volumen des Zimmers ändert. Das glaube ich Dir nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Di 11.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Wir hatten ja S'(t) = [mm] -1,6\,\bruch{S(t)}{V} [/mm] . Deshalb dachte ich, ich könnte S(t) durch y und V durch x ersetzen.
Soll ich stattdessen das V stehen lassen ? Wie kann ich dann ansetzen um die DGL zu lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Di 11.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Welche mathematische Rolle spielt das V hier? Du hast zur Auswahl: Funktion, Variable, Konstante.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Di 11.11.2014 | | Autor: | rollroll |
V ist Konstante
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Di 11.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Da x normalerweise die Variable in y(x) ist, darf also V nicht zu diesem x werden. Damit hast Du nun die Differentialgleichung $S'(t) = -k [mm] \cdot [/mm] S(t)$. Die sollte Dir bekannt vorkommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Di 11.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Achso, ok.
Dann müsste [mm] S(t)=S_0 e^{-kt} [/mm] sein, wobei k=1,6/V
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Achso, ok.
> Dann müsste [mm]S(t)=S_0 e^{-kt}[/mm] sein, wobei k=1,6/V
Ja
FRED
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> Wir hatten ja S'(t) = [mm]-1,6\,\bruch{S(t)}{V}[/mm] . Deshalb
> dachte ich, ich könnte S(t) durch y und V durch x
> ersetzen.
> Soll ich stattdessen das V stehen lassen ? Wie kann ich
> dann ansetzen um die DGL zu lösen?
Guten Abend rollroll,
ein kleines Stücklein weit kann ich deinen Wunsch nach-
vollziehen, mit den gewohnten Symbolen x und y umzu-
gehen, da dir dies ein wenig "Vertrautheit" geben würde
in einem Bereich, in dem du dich noch nicht so gut
auskennst ...
Für dich wird es aber nützlich sein, wenn du dich
möglichst bald von diesem x-y-Denken lösen kannst
und dich daran gewöhnst, dass Funktionen anstatt in
der Form f(x) ebensogut als S(t), A(z) , k(r)
etc. daherkommen können.
In der obigen Gleichung
[mm]S'(t)\ =\ -1.6\ \bruch{S(t)}{V}[/mm]
ist wichtig zu wissen, dass es da um eine Funktion S der
Variablen t geht, dass das Strichlein beim S die Ableitung
nach der Variablen t bedeutet (keineswegs nach V) und
dass V (das Zimmervolumen) hier die Rolle einer Konstanten
spielt. Aus diesen Gründen würde ich ev. empfehlen, die
Differentialgleichung (denn um eine solche handelt es sich)
noch so zu notieren:
[mm]S'(t)\ =\ \underbrace{ \bruch{-1.6}{V}}_K\,*\ S(t)\ =\ K\,*\,S(t)[/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Di 11.11.2014 | | Autor: | rollroll |
s.o. dort habe ich meine Antwort korrigiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Di 11.11.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Bei einem Sauerstoffanteil von etwa 18% treten bei Menschen bereits messbare Beeinträchtigungen auf. Sei V das Volumen des im Hörsaal enthaltenen Luftraums. Nehmen Sie an, es befänden sich 110 Hörer und ein Dozent im Raum. Nehmen Sie zusätzlich an, der Saal bleibt geschlossen
und die Lüftungsanlage wäre ausgeschaltet. Wie lange darf eine Vorlesung maximal dauern, um körperliche Beschwerden auszuschließen, wenn zu Beginn der Vorlesung der Saal voll mit Frischluft war (21% Sauerstoffgehalt)?
Hinweis: Ändern Sie die Lösung in c) geschickt ab. |
Hallo nochmal,
ich bräuchte noch einen Tipp zu letzten Teil der Aufgabe.
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> Bei einem Sauerstoffanteil von etwa 18% treten bei Menschen
> bereits messbare Beeinträchtigungen auf. Sei V das Volumen
> des im Hörsaal enthaltenen Luftraums. Nehmen Sie an, es
> befänden sich 110 Hörer und ein Dozent im Raum. Nehmen
> Sie zusätzlich an, der Saal bleibt geschlossen
> und die Lüftungsanlage wäre ausgeschaltet. Wie lange
> darf eine Vorlesung maximal dauern, um körperliche
> Beschwerden auszuschließen, wenn zu Beginn der Vorlesung
> der Saal voll mit Frischluft war (21% Sauerstoffgehalt)?
> Hinweis: Ändern Sie die Lösung in c) geschickt ab.
> Hallo nochmal,
> ich bräuchte noch einen Tipp zu letzten Teil der Aufgabe.
Naja, der Hinweis steht ja schon da: benütze die vorherige
Lösung und nimm die nötigen Änderungen vor. Zwar ist das
konkrete Volumen V nach wie vor nicht gegeben - diese
Konstante bleibt also in der Rechnung drin. Anstelle einer
einzigen Person haben wir jetzt deren 111 (wobei angenommen
wird, dass diese im Durchschnitt "standardisiert" 8 Liter Luft pro
Minute atmen ...). Mach dir noch klar, dass die absolute
Sauerstoffmenge im Hörsaal (in Litern oder [mm] m^3 [/mm] gemessen)
proportional zum prozentualen Sauerstoffanteil in der Luft
ist (es wird ja von sofortiger Durchmischung ausgegangen,
sodass man also nicht befürchten muss, dass die Studenten
den Sauerstoff direkt um sie herum komplett wegatmen und
zusammenkippen, weil der über ihnen noch vorhandene
Sauerstoff nicht schnell genug an ihre Nasen kommt ...):
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Di 11.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Heißt das ich muss die 1,6 noch mit 111 multiplizieren? Und [mm] S_0= [/mm] 0,21? Und dann die ungleichung S (t) > 0,18 lösen?
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> Heißt das ich muss die 1,6 noch mit 111 multiplizieren?
> Und [mm]S_0=[/mm] 0,21? Und dann die ungleichung S (t) > 0,18
> lösen?
Ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Mi 12.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Ich erhalte t< [mm] \bruch{Vln(6/7)}{-177,6}
[/mm]
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> Ich erhalte t < [mm]\bruch{V\ ln(6/7)}{-177,6}[/mm]
Soweit ich sehe, stimmt das.
Das Ergebnis würde ich zum Schluss auch noch in
genäherter Form numerisch angeben, zum Beispiel:
$\ t\ <\ [mm] \frac{V}{1.2\ m^3}\ [/mm] \ min$
Am tatsächlichen Experiment, in einem hermetisch
abgedichteten und nicht belüfteten Saal (bzw. Zimmer)
mit einem Rauminhalt von 120 [mm] m^3 [/mm] eine zweistündige
Vorlesung (100 Min) mit 110 Studenten abzuhalten,
würde ich lieber nicht teilnehmen - nicht einmal in
erster Linie aus Erstickungsangst, sondern noch eher
aus Bedenken vor erheblichen Geruchsimmissionen ...
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Mi 12.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Danke für deine Hilfe!
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