Thema? < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Do 29.01.2009 | | Autor: | Mathmark |
Hallo zusammen !!
Is lange her....hatte bischen mit Umzug, Internet, Telefon...etc zu kämpfen. Naja hab den letzten level geschafft, Endgegner platt gemacht, Internet flott gemacht,blabla....
Bin da auf ne komische frage gestoßen:
(Zunächst aber die Frage nach grundlegender Übereinstimmung)
Es gilt doch: [mm] $a
und weiterhin
[mm] $x\in\left]a,b\right]\gdw a
Also existiert auch hier ein [mm] $\epsilon \in \IR$, [/mm] so dass
[mm] $a+\epsilon=x$. [/mm]
Hab ich das erstmal richtig verstanden ?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Do 29.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen !!
>
> Is lange her....hatte bischen mit Umzug, Internet,
> Telefon...etc zu kämpfen. Naja hab den letzten level
> geschafft, Endgegner platt gemacht, Internet flott
> gemacht,blabla....
>
> Bin da auf ne komische frage gestoßen:
>
> (Zunächst aber die Frage nach grundlegender
> Übereinstimmung)
>
> Es gilt doch: [mm]a
Nein, hier gilt nur die Richtung [mm] "$\Rightarrow$". [/mm] Die Richtung [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] gilt i.a. nicht. Was ist, wenn [mm] $a+\epsilon=b$ [/mm] und [mm] $\epsilon \le [/mm] 0$?
Was aber wirklich gilt, ist:
$$a < b [mm] \gdw\;\;\exists \blue{\epsilon > 0}: a+\epsilon=b\,.$$
[/mm]
> und weiterhin
>
> [mm]x\in\left]a,b\right]\gdw a
>
> Also existiert auch hier ein [mm]\epsilon \in \IR[/mm], so dass
>
> [mm]a+\epsilon=x[/mm].
>
> Hab ich das erstmal richtig verstanden ?
Ähm, ja. Aber anstatt [mm] $\epsilon \in \IR$ [/mm] würdest Du besser [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ schreiben.
Ganz genau ist es übrigens so (o.E. sei $a [mm] \,<\, [/mm] b$):
$$x [mm] \in ]a,b]\;\gdw\;\exists \epsilon \text{ mit }0 [/mm] < [mm] \epsilon \le [/mm] b-a: [mm] x=a+\epsilon\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Do 29.01.2009 | | Autor: | Mathmark |
Vielen Dank, Marcel....
Nun zur eigentlichen Frage:
Wenn ich eine Treppenfunktion $f$, d.h. konstante Funktion, auf dem Intervall [mm] $\left[ a,b\right]$, [/mm] mit der Zerlegung [mm] $Z=\{a=a_0
Nun gilt gilt für alle [mm] $x\in \left]a_!,a_2\right]$: $a_10$ [/mm] existiert, so dass [mm] $x=a_1+\epsilon$
[/mm]
Das ist äquivalent zur Aussage, dass [mm] $a_1=\max(\left[a_0,a_1\right])=x-\epsilon$ [/mm] ist.
Folglich müsste dann: [mm] $\inf (\left]a_1,a_2\right])>max(\left[a_0,a_1\right])$
[/mm]
Das würde mich zu der Annahme führen, dass zwei Objekte, die quadratisch und eine Kantenlange von einem Meter haben, trotdem bei Übereinanderlegung etwas mehr als zwei Meter messen (und seien es auch nur Mirkometer).
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Do 29.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank, Marcel....
>
> Nun zur eigentlichen Frage:
>
> Wenn ich eine Treppenfunktion [mm]f[/mm], d.h. konstante Funktion,
> auf dem Intervall [mm]\left[ a,b\right][/mm], mit der Zerlegung
> [mm]Z=\{a=a_0
> Intervall: [mm]\left[ a,b\right]=\left[a_0,a_1\right]\cup\left]a_1, a_2\right][/mm]
>
> Nun gilt gilt für alle [mm]x\in \left]a_!,a_2\right][/mm]: [mm]a_1
> womit also ein [mm]\epsilon\in\IR[/mm] mit [mm]\epsilon>0[/mm] existiert, so
> dass [mm]x=a_1+\epsilon[/mm]
>
> Das ist äquivalent zur Aussage, dass
> [mm]a_1=\max(\left[a_0,a_1\right])=x-\epsilon[/mm] ist.
>
> Folglich müsste dann: [mm]\inf (\left]a_1,a_2\right])>max(\left[a_0,a_1\right])[/mm]
>
Was ist los ?????????????????????
Es gilt: [mm]\inf (\left]a_1,a_2\right]) = a_1 = max(\left[a_0,a_1\right])[/mm]
>
>
> Das würde mich zu der Annahme führen, dass zwei Objekte,
> die quadratisch und eine Kantenlange von einem Meter haben,
> trotdem bei Übereinanderlegung etwas mehr als zwei Meter
> messen (und seien es auch nur Mirkometer).
?????????????????????????????
FRED
>
> Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Do 29.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank, Marcel....
>
> Nun zur eigentlichen Frage:
>
> Wenn ich eine Treppenfunktion [mm]f[/mm], d.h. konstante Funktion,
> auf dem Intervall [mm]\left[ a,b\right][/mm], mit der Zerlegung
> [mm]Z=\{a=a_0
> Intervall: [mm]\left[ a,b\right]=\left[a_0,a_1\right]\cup\left]a_1, a_2\right][/mm]
Du schreibst also das Intervall $[a,b]$ also disjunkte Vereinigung der Intervalle [mm] $[a_0,a_1]$ [/mm] und [mm] $]a_1,a_2]$, [/mm] wobei [mm] $a_0=a$ [/mm] und [mm] $a_2=b$ [/mm] ist. Aber wozu, wenn die Funktion doch sowieso auf dem Intervall $[a,b]$ bei Dir konstant ist?
> Nun gilt gilt für alle [mm]x\in \left]a_!,a_2\right][/mm]: [mm]a_1
> womit also ein [mm]\epsilon\in\IR[/mm] mit [mm]\epsilon>0[/mm] existiert, so
> dass [mm]x=a_1+\epsilon[/mm]
Ja. Aber wozu willst Du das machen?
> Das ist äquivalent zur Aussage, dass
> [mm]a_1=\max(\left[a_0,a_1\right])=x-\epsilon[/mm] ist.
??? Großes Fragezeichen, wie Du das wirklich meinst! Meines Erachtens nach ist [mm] $\max([a_0,a_1])=a_1\,.$
[/mm]
Wie Du das mit [mm] $a_1 [/mm] < x [mm] \le a_2$ [/mm] und dann einem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ausdrücken willst, entzieht sich mir jeder Logik.
Außerdem verstehe ich Deine Aussage oben auch gar nicht:
a) Für alle $x [mm] \in ]a_1,a_2]$ [/mm] gilt: Es existiert ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ mit $x= [mm] a_1+\epsilon$
[/mm]
b) [mm] $a_1=max([a_0,a_1])=x-\epsilon$ [/mm] (für ein [mm] $\epsilon=\epsilon_x [/mm] > 0$?)
Hier soll a) [mm] $\gdw$ [/mm] b) gelten? Wozu überhaupt da von Äquivalenz sprechen? Die Aussage a) ist für sich genommen eh immer richtig, die Aussage b) auch (setze dort [mm] $\epsilon:=x-a_1$).
[/mm]
Oder meinst Du einfach:
Für alle $x [mm] \in ]a_1,a_2]$ [/mm] existiert ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ mit [mm] $x=a_1+\epsilon$, [/mm] und [mm] $x=a_1+\epsilon \gdw a_1=x-\epsilon$? [/mm]
> Folglich müsste dann: [mm]\inf (\left]a_1,a_2\right])>max(\left[a_0,a_1\right])[/mm]
Eben nicht. Du kannst nur folgern, dass [mm] $\inf ]a_1,a_2] \ge \max[a_0,a_1]$ [/mm] ist.
Das ganze erkennt man viel besser, wenn Du Dir mal klarmachst:
$a [mm] \le [/mm] b$ [mm] $\gdw$ $\forall \epsilon [/mm] > 0: a < [mm] b+\epsilon\,.$
[/mm]
Aus
$a < [mm] b+\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$
folgt einfach nicht $a < [mm] b\,.$ [/mm] Es gilt ja auch
$a < a + [mm] \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
> Das würde mich zu der Annahme führen, dass zwei Objekte,
> die quadratisch und eine Kantenlange von einem Meter haben,
> trotdem bei Übereinanderlegung etwas mehr als zwei Meter
> messen (und seien es auch nur Mirkometer).
Hier kann ich Dir nicht mehr folgen, aber der Trugschluß Deinerseits ist auch schon oben angedeutet. Aus $a < [mm] b+\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ kann man halt nicht $a < b$ folgern, sondern nur $a [mm] \le b\,.$ [/mm] Irgendetwas in dieser Art wird in Deinem Gedankengang falsch laufen, an welcher Stelle nun genau, das sehe ich gerade nicht. Oder Du beachtest nicht, dass für ein $x [mm] \in ]a_1,a_2]$ [/mm] die Darstellung [mm] $a_1=x-\epsilon$ [/mm] für (hier: genau) ein [mm] $\epsilon=\epsilon_x [/mm] > 0$ gilt (das [mm] $\epsilon$ [/mm] ist also von [mm] $\,x\,$ [/mm] abhängig).
Übrigens:
Bist Du Dir über die Bedeutung des Begriffes der Äquivalenz zweier Aussagen im Klaren? Du benutzt diesen Begriff "...ist äquivalent zu..." meines Erachtens nach viel zu leichtfertig. Zwei Aussagen $A,B$ heißen zueinander äquivalent (im Zeichen $A [mm] \gdw [/mm] B$), wenn sowohl $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ als auch $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ gilt. D.h., man hat, wenn man so eine Behauptung sieht, zwei Dinge zu zeigen:
1.) "$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$": Wir setzen voraus, dass $A$ gilt. Nun ist zu zeigen, dass dann auch $B$ gilt.
2.) "$B [mm] \Rightarrow [/mm] A$": Wir setzen voraus, dass $B$ gilt. Nun ist zu zeigen, dass dann auch $A$ gilt.
(Und es gilt, dass "$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$" äquivalent zu [mm] "$(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A)$" ist. Anstatt "$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$" kann man also auch [mm] "$(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A)$" beweisen, das ist der sogenannte Beweis durch Kontraposition.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Mathmark |
Hallo zusammen !!!
Erstmal vielen Dank für Eure Erklärungen.
Die Problematik im Verständnis, ist die Tatsache, dass wenn ich zwei Intervalle [mm] $I_1=\left[a,b\right]$ [/mm] und [mm] $I_2=\left[a,b\right[$ [/mm] betrachte, sowie eine konstante Funktion $f(x)=c$, mit [mm] $c\in\IR$ [/mm] und dann das Integral über [mm] $I_1$ [/mm] sowie über [mm] $I_2$ [/mm] bilde, so ist der Flächeninhalt der gleiche, denn
Für [mm] $I_1$:
[/mm]
[mm] $\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=c\cdot(b-a)$
[/mm]
Für [mm] $I_2$:
[/mm]
[mm] $\integral_{a}^{n}{f(x) dx}=c\cdot(n-a)$ [/mm] mit [mm] $\limes_{n\rightarrow b}c\cdot(n-a)=c\cdot(b-a)$
[/mm]
Wie kann das sein (es fehlt doch ein Streifen)?
(Grundlage des Gedankenexperiments: Man nehme ein Brett von 2 Meter Länge, und säge es in der Mitte durch. Die Menge der Sägespäne wird gewogen. Nun nehme ich zwei Bretter der Länge 1 Meter und presse sie zusammen, so dass ich ein Brett der Länge 2 Meter erhalte. An der Naht wird das Brett erneut zersägt. Die Menge der Sägespäne wird wiederum gewogen. Welche Menge der Sägespäne ist größer ?)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Fr 30.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Mathmark,
hast Du Dir schon Gedanken über die Dicke des Sägeblatts gemacht? Wie breit ist Dein Streifen, und was ist sein Flächeninhalt?
lg,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Mathmark |
Hallo !
Da ich beide Bretter mit der selben Sägeblattstärke schneide, kann ich sie doch vernachlässigen, oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathmark,
> Hallo zusammen !!!
>
> Erstmal vielen Dank für Eure Erklärungen.
>
> Die Problematik im Verständnis, ist die Tatsache, dass wenn
> ich zwei Intervalle [mm]I_1=\left[a,b\right][/mm] und
> [mm]I_2=\left[a,b\right[[/mm] betrachte, sowie eine konstante
> Funktion [mm]f(x)=c[/mm], mit [mm]c\in\IR[/mm] und dann das Integral über [mm]I_1[/mm]
> sowie über [mm]I_2[/mm] bilde, so ist der Flächeninhalt der gleiche,
> denn
> Für [mm]I_1[/mm]:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=c\cdot(b-a)[/mm]
>
> Für [mm]I_2[/mm]:
> [mm]\integral_{a}^{n}{f(x) dx}=c\cdot(n-a)[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow b}c\cdot(n-a)=c\cdot(b-a)[/mm]
>
> Wie kann das sein (es fehlt doch ein Streifen)?
>
>
> (Grundlage des Gedankenexperiments: Man nehme ein Brett von
> 2 Meter Länge, und säge es in der Mitte durch. Die Menge
> der Sägespäne wird gewogen. Nun nehme ich zwei Bretter der
> Länge 1 Meter und presse sie zusammen, so dass ich ein
> Brett der Länge 2 Meter erhalte. An der Naht wird das Brett
> erneut zersägt. Die Menge der Sägespäne wird wiederum
> gewogen. Welche Menge der Sägespäne ist größer ?)
mir ist nicht klar, worauf Du hinaus willst. Das Anfallen der Sägespäne ist ja eher was physikalisches. Das, was Du oben beschreibst, passt von der Theorie hier besser so:
Wenn Du ein Blatt Papier hernimmst, welches Du bemalen willst, so musst Du dafür eine gewisse Fläche bemalen. Wenn Du es nun irgendwo zerschneidest, und nun die beiden Papierteile bemalen willst, so musst Du deren Fläche addieren, um die Gesamtfläche zu erhalten, die du bemalen willst. Durch den "Schnitt" ist da nichts verloren gegangen, da sind keine Papierfetzen geflogen und die Schere hat nicht "zuviel abgetrennt". Wenn Du es sorgfältig wieder zusammenklebst, sieht es wieder aus wie vorher. Und wenn Du zwei Papierteile, die genauso aussehen, wie die, die oben durch den Schnitt entstanden sind, zusammenklebst, sind die auch identisch mit dem Ausgangspapier. Da kannst Du nun das ganze, so oft Du willst, an der Naht zusammenkleben und wieder auseinanderschneiden...
Warum das ganze mit den Integralen so ist wie es ist, ergibt sich übrigens aus dem Aufbau der Theorie der Integralrechnung. In der Lebesgueschen Integrationstheorie sind einpunktige Mengen Lebesguesche Nullmengen, und abzählbare Vereinigungen von Lebesgueschen Nullmengen sind wieder Lebesguesche Nullmengen. Aber irgendwie scheint es mir hier eher so, dass es Dir weniger um eine mathematische Theorie geht, als vielmehr um den Test, in welchen Situationen eine mathematische Theorie alleine nicht reicht, um die Realität zu beschreiben; soll heißen, der Ansatz, um die Realität mit dieser Theorie zu beschreiben, ist vll. gewinnbringend, aber eigentlich gibt es noch viel mehr zu beachten... Worauf Du da nun genau hinaus willst, weiß ich nicht...
Es ist m.E. jedenfalls bei Deinem Gedankenexperiment eine gewisse Problematik vorhanden, denn alleine durch die Tatsache, dass beim Zersägen von Holz Späne fallen, ist eigentlich klar, dass sich das Holz verändert. Und meines Erachtens wäre es unrealistisch, zu behaupten, dass man dabei nicht einen gewissen Längenverlust mithinnehmen muss (wenngleich der nicht unbedingt merklich ist). Dieser entsteht aber durch den Vorgang des Zersägens.
Gruß,
Marcel
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