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Ein paar theoretische Fragen von mir:
Um die Extrempunkte auszurechnen setze ich die 1. Ableitung 0. Denn die 1. Ableitung gibt die Steigung an.Diese(n) Wert/Werte setze ich in die 2. Ableitung ein. Diese gibt die Krümmung an und sagt uns deshalb ob es ein HP oder TP ist !?. Beim Wendepunkt muss ich die 2. Ableitung 0 setzen weil diese die Krümmung angibt, und diese(n) Wert/Werte in die 3. Ableitung einsetzn, weil die...(was angibt?).
-Auf einer Ortskurve liegen alle HP oder TP einer Funktion
-Ein Hochpunkt ist zunächst durch eine positive dann durch eine negative Steigung gekennzeichnet.
-Ein Tiefpunkt ist zunächst durch eine negative und dann durch eine positive Steigung gekennzeichet
-An Hoch und Tiefpunkte sind Tangenten angelegt.
-An Wendepunkten krümmt sich die Funktion. (!?)
-Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt in der eine waagrechte Tangente hindurchgeht.
Mehr fällt mir im Moment gerade nicht ein ;). Hoffe auf Korrektur und Verbesserung meines Unwissens ;).
Bis denne...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo aLeX.chill!
> Um die Extrempunkte auszurechnen setze ich die 1. Ableitung
> 0. Denn die 1. Ableitung gibt die Steigung an.Diese(n)
> Wert/Werte setze ich in die 2. Ableitung ein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Diese gibt
> die Krümmung an und sagt uns deshalb ob es ein HP oder TP
> ist !?.
Joa, so könnte man sagen.
Ich würde es aber so formulieren: Die zweite Ableitung an der Nullstelle der ersten Ableitung gibt an, ob die erste Ableitung an ihrer Nullstelle eine von Null verschiedene Steigung hat.
Dann wechselt die erste Ableitung nämlich an ihrer Nullstelle das Vorzeichen, woraus für die ursprüngliche Funktion resultiert, dass diese einen Steigungswechsel von "steigend [mm] \to [/mm] fallend" oder "fallend [mm] \to [/mm] steigend" hat.
> Beim Wendepunkt muss ich die 2. Ableitung 0 setzen
> weil diese die Krümmung angibt, und diese(n) Wert/Werte in
> die 3. Ableitung einsetzn, weil die...(was angibt?).
Das ist so ähnlich wie bei den Extremstellen.
Die 2. Ableitung gibt die Krümmung an, und mit der 3. Ableitung stellt man sicher, dass tatsächlich ein Krümmungswechsel (="Wendung") vorliegt.
An der Wendestelle selbst haben wir ja keine Krümmung (wg. [mm] $f''(x_w)=0$), [/mm] wir benötigen aber den Krümmungswechsel von "rechtsgekrümmt [mm] \to [/mm] linksgekrümmt" bzw. "linkgsgekrümmt [mm] \to [/mm] rechtsgekrümmt".
> -Auf einer Ortskurve liegen alle HP oder TP einer
> Funktion
Das ist zu ungenau.
Ortskurven findet man zunächst bei Funktionenscharen, und sie kennzeichnen die Punkte auf jeder Funktion der Schar mit einer bestimmten Eigenschaft.
Wenn man z.B. für eine Schar bei jeder Funktion den Hochpunkt markiert, dann kann es sein, dass sie Menge aller so markierten Punkte eine Kurve bildet, die man dann Ortskurve bildet.
Diese Eigenschaft muss nicht unbedingt ein Extrempunkt sein, man könnte auch Ortskurven zu Wendepunkten bilden, oder zu Nullstellen, oder zu Punkten mit einer bestimmten Steigung.
> -Ein Hochpunkt ist zunächst durch eine positive dann durch
> eine negative Steigung gekennzeichnet.
> -Ein Tiefpunkt ist zunächst durch eine negative und dann
> durch eine positive Steigung gekennzeichet
> -An Hoch und Tiefpunkte sind Tangenten angelegt.
Das zeichnet Hoch- und Tiefpunkt nicht aus, denn Tangenten kann man z.B. bei differenzierbaren Funktionen an jedem Punkt anlegen.
Hoch- und Tiefpunkte haben aber spezielle Tangenten, nämlich Tangenten mit der Steigung 0 (also waagerecht bzw. parallel zur x-Achse). Deswegen ist die notwendige Bedingung für Hoch-/Tiefpunkte auch [mm] $f'(x_e)=0$.
[/mm]
"Leider" kennzeichnet eine horizontale Tangente Extrempunkte aber nicht, denn horizontale Tangenten gibt es auch bei Sattelpunkten (s.u.).
> -An Wendepunkten krümmt sich die Funktion. (!?)
Auch das ist nicht charakteristisch, denn die Funktion krümmt sich --wenn es nicht gerade eine konstante Funktion ist-- im allgemeinen auch an anderen Stellen, z.B. Extremstellen.
Das Charakteristische ist der Wechsel der Krümmung..
> -Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt in der eine waagrechte
> Tangente hindurchgeht.
Vielleicht schöner formuliert: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
> Mehr fällt mir im Moment gerade nicht ein ;).
Mir auch nicht.
> Hoffe auf
> Korrektur und Verbesserung meines Unwissens ;).
Du weißt schon fast zuviel 
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:12 So 20.06.2004 | | Autor: | aLeX.chill |
> > Hoffe auf
> > Korrektur und Verbesserung meines Unwissens ;).
>
> Du weißt schon fast zuviel
Na ja das bezweifle ich doch sehr stark ;). Ich werds ja dann am Mi oder Do im Mathe mündlich sehen.
Bis dahin fällt mir bestimmt noche ne`Frage ein ;)
Bis denne
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