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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Fr 02.03.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Man entscheide ob folgende Aussagen zutreffen, oder nicht, bzw. in welchem Spezialfall sie zutreffen. Modifizieren sie die Aussage ggf..
Die Entscheidung ob Wahr oder Flasch, muss mittels einer kurzen Argumentation (Def., Satz, Gegenbeispiel) begründet werden.
1.) Die Menge [mm] \left\{ \frac{1}{n}, n\in\IN \right\} [/mm] besitzt in [mm] \left[ 0,1 \right] [/mm] zwei Häufungspunkte
2.) Wenn eine Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] absolut konvergiert, dann besitzt sie eine geometrische Reihe als Majorante.
3.) Ein Polynom, dessen 2. Ableitung auf ganz [mm] \IR [/mm] beschränkt ist, kann maximal vom Grad 2 sein.
4.) Die Taylorreihe jeder "echt rationalen" Funktion r(x) (dh: r(x) kein Polynom), hat unendlich viele Glieder, die von Null verschieden sind.
(Gemeint ist die Taylorreihe bezüglich irgendeiner Entwicklungsstelle [mm] x_0, [/mm] die kein Pol von r(x) ist)
5.) Für jedes auf einem offenen Intervall (a,b) stetige Funktion f(x) existiert der Wert des bestimmten Integrals [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] |
Hallo liebes Forum,
Habe ein paar Probleme zu den gegebenen Beispielen. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen :)
zu 1.)
Diese Aussage Müsste doch falsch sein, da ja der Grenzwert einer kovergenten Folge der Häufungspunkt ist. In dem Fall doch 0.
zu 2.)
Hier nutze ich das Majorantenkriterium: "Eine Reihe, die eine konvergente Majorante besitzt, ist absolut konvergent"
Also muss die Majorante der Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] doch nicht zwingend eine geometrische Reihe sein.
Suche ich allerdings in meinen durchgerechneten Beispielen nach absoluter Konvergenz, so habe ich sie jedes mal mit der geometrischen Reihe als Majorante gezeigt :(
Nur wie könnte ich das zeigen?
zu 3.)
Dazu habe ich leider gar nichts gefunden :/ Und komme auch mit der Überlegung nicht ganz klar. Warum sollte denn die Funktion f(x) maximal den grad 2 besitzten, wenn sie auf ganz [mm] \IR [/mm] beschränkt ist ?!
zu 4.)
Ich verstehe nicht was mein Professor unter echt rationaler Funktion versteht. Wenn r(x) kein Polynom ist, wie kann es dann eine rationale Funktion sein?
eine rationale Funktion wäre doch r(x)=p(x)/q(x) , wobei p(x) und q(x) Polynome sind ...
zu 5.)
Diese Aussage müsste doch richtig lauten:
"ist f auf [mm] \left[ a,b \right] [/mm] stetig, dann ist f integrierbar auf [mm] \left[ a,b \right]"
[/mm]
Und laut bei den 2 Definitionen zur "lokalen Integrierbarkeit" wird jeweis nur etweder (a,b], oder [ a,b ) betrachtet, nie ein offenes Intervall.
Als 3. würde mir noch die "Uneigentliches Integral auf [mm] (-\infty,\infty)" [/mm] einfallen.
"Gibt es ein c [mm] \in\IR, [/mm] so dass die uneigentlichen Integrale
[mm] \integral_{-\infty}^{c}{f(t) dt} [/mm] und [mm] \integral_{c}^{\infty}{f(t) dt}
[/mm]
kovergieren, dann konvergiert auch [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt}, [/mm] und man setzt
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt}=
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{c}{f(t) dt}+\integral_{c}^{\infty}{f(t) dt},
[/mm]
andernfalls divergiert
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt}"
[/mm]
falls diese 3. Definition zutrifft, würde die gegebene Aussage doch ebenfalls falsch sein, da ja die Konvergenz nicht von f(t) abhängt, sondern vom Inverall, bzw dem "c".
Hoffe ihr könnt mir helfen :)
Liebe Grüße, Meely
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Fr 02.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man entscheide ob folgende Aussagen zutreffen, oder nicht,
> bzw. in welchem Spezialfall sie zutreffen. Modifizieren sie
> die Aussage ggf..
> Die Entscheidung ob Wahr oder Flasch, muss mittels einer
> kurzen Argumentation (Def., Satz, Gegenbeispiel) begründet
> werden.
>
> 1.) Die Menge [mm]\left\{ \frac{1}{n}, n\in\IN \right\}[/mm] besitzt
> in [mm]\left[ 0,1 \right][/mm] zwei Häufungspunkte
>
> 2.) Wenn eine Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] absolut
> konvergiert, dann besitzt sie eine geometrische Reihe als
> Majorante.
..... als konvergente Majorante ....
ich geh davon aus, dass es so gemeint ist, wenn ja, so ist die Aussage falsch. s.u.
>
> 3.) Ein Polynom, dessen 2. Ableitung auf ganz [mm]\IR[/mm]
> beschränkt ist, kann maximal vom Grad 2 sein.
>
> 4.) Die Taylorreihe jeder "echt rationalen" Funktion r(x)
> (dh: r(x) kein Polynom), hat unendlich viele Glieder, die
> von Null verschieden sind.
> (Gemeint ist die Taylorreihe bezüglich irgendeiner
> Entwicklungsstelle [mm]x_0,[/mm] die kein Pol von r(x) ist)
>
> 5.) Für jedes auf einem offenen Intervall (a,b) stetige
> Funktion f(x) existiert der Wert des bestimmten Integrals
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> Hallo liebes Forum,
>
> Habe ein paar Probleme zu den gegebenen Beispielen.
> Vielleicht könnt ihr mir ja helfen :)
>
> zu 1.)
>
> Diese Aussage Müsste doch falsch sein, da ja der Grenzwert
> einer kovergenten Folge der Häufungspunkt ist. In dem Fall
> doch 0.
Ja, obige Menge hat nur den Häufungspunkt 0. Deine Begründung ist aber keine. Unterscheide zwischen "HP einer Folge" und "HP der Wertemenge einer Folge"
Beispiel: [mm] a_n=(-1)^n. (a_n) [/mm] hat 2 HPe, die Wertemenge der Folge [mm] (a_n) [/mm] hat aber keinen HP.
>
>
> zu 2.)
>
> Hier nutze ich das Majorantenkriterium: "Eine Reihe, die
> eine konvergente Majorante besitzt, ist absolut
> konvergent"
>
> Also muss die Majorante der Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm]
> doch nicht zwingend eine geometrische Reihe sein.
>
> Suche ich allerdings in meinen durchgerechneten Beispielen
> nach absoluter Konvergenz, so habe ich sie jedes mal mit
> der geometrischen Reihe als Majorante gezeigt :(
Tatsächlich ? Betrachte mal [mm] \sum \bruch{1}{n^2}. [/mm] Diese Reihe konv. absolut.
Nun nimm als an, es gäbe ei q [mm] \in [/mm] (0,1) und ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] \bruch{1}{n^2} \le q^n [/mm] für n >N.
Das geht in die Hosen. Siehst Du warum ?
>
> Nur wie könnte ich das zeigen?
>
>
> zu 3.)
>
> Dazu habe ich leider gar nichts gefunden :/ Und komme auch
> mit der Überlegung nicht ganz klar. Warum sollte denn die
> Funktion f(x) maximal den grad 2 besitzten, wenn sie auf
> ganz [mm]\IR[/mm] beschränkt ist ?!
Tipp: 1. Ist p ein Polynom, so ist p'' wieder ein Polynom. 2. Ist q ein Polynom vom Grad [mm] \ge [/mm] 1, so ist q auf [mm] \IR [/mm] nicht beschränkt.
>
> zu 4.)
>
> Ich verstehe nicht was mein Professor unter echt rationaler
> Funktion versteht. Wenn r(x) kein Polynom ist, wie kann es
> dann eine rationale Funktion sein?
> eine rationale Funktion wäre doch r(x)=p(x)/q(x) , wobei
> p(x) und q(x) Polynome sind ...
Ja, dabei ist auch zugelassen, dass q konstant =1 ist. Kurz: Polynome sind auch rationale Funktionen.
>
> zu 5.)
>
> Diese Aussage müsste doch richtig lauten:
>
> "ist f auf [mm]\left[ a,b \right][/mm] stetig, dann ist f
> integrierbar auf [mm]\left[ a,b \right]"[/mm]
Da ist was anderes !
>
> Und laut bei den 2 Definitionen zur "lokalen
> Integrierbarkeit" wird jeweis nur etweder (a,b], oder [ a,b
> ) betrachtet, nie ein offenes Intervall.
Dann hattet Ihr nie sowas:
[mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{x^2-x}dx}
[/mm]
?
Doch das hattet Ihr sicher.
FRED
>
> Als 3. würde mir noch die "Uneigentliches Integral auf
> [mm](-\infty,\infty)"[/mm] einfallen.
>
> "Gibt es ein c [mm]\in\IR,[/mm] so dass die uneigentlichen Integrale
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{c}{f(t) dt}[/mm] und
> [mm]\integral_{c}^{\infty}{f(t) dt}[/mm]
>
> kovergieren, dann konvergiert auch
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt},[/mm] und man setzt
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{c}{f(t) dt}+\integral_{c}^{\infty}{f(t) dt},[/mm]
>
> andernfalls divergiert
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt}"[/mm]
>
> falls diese 3. Definition zutrifft, würde die gegebene
> Aussage doch ebenfalls falsch sein, da ja die Konvergenz
> nicht von f(t) abhängt, sondern vom Inverall, bzw dem
> "c".
>
>
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen :)
>
> Liebe Grüße, Meely
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:34 Fr 02.03.2012 | | Autor: | meely |
Hallo FRED und danke für deine Antwort :)
> > Man entscheide ob folgende Aussagen zutreffen, oder nicht,
> > bzw. in welchem Spezialfall sie zutreffen. Modifizieren sie
> > die Aussage ggf..
> > Die Entscheidung ob Wahr oder Flasch, muss mittels
> einer
> > kurzen Argumentation (Def., Satz, Gegenbeispiel) begründet
> > werden.
> >
> > 1.) Die Menge [mm]\left\{ \frac{1}{n}, n\in\IN \right\}[/mm] besitzt
> > in [mm]\left[ 0,1 \right][/mm] zwei Häufungspunkte
> >
> > 2.) Wenn eine Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] absolut
> > konvergiert, dann besitzt sie eine geometrische Reihe als
> > Majorante.
>
>
> ..... als konvergente Majorante ....
>
> ich geh davon aus, dass es so gemeint ist, wenn ja, so ist
> die Aussage falsch. s.u.
In der Aufgabe steht wirklich nur "...dann besitzt sie eine geometrische Reihe als Majorante"
Konvergenz wird nicht erwähnt, auch wenn es logisch erscheint.
> > zu 1.)
> >
> > Diese Aussage Müsste doch falsch sein, da ja der Grenzwert
> > einer kovergenten Folge der Häufungspunkt ist. In dem Fall
> > doch 0.
>
> Ja, obige Menge hat nur den Häufungspunkt 0. Deine
> Begründung ist aber keine. Unterscheide zwischen "HP einer
> Folge" und "HP der Wertemenge einer Folge"
>
> Beispiel: [mm]a_n=(-1)^n. (a_n)[/mm] hat 2 HPe, die Wertemenge der
> Folge [mm](a_n)[/mm] hat aber keinen HP.
>
Vielen Dank! Ich glaube ich verstehe was du meinst.
[mm] a_n=(-1)^n [/mm] hat ja die Häufungspunkte [mm] \left\{-1,1\right\}
[/mm]
dann müsste doch die Menge
[mm] \left\{ a_n, n\in\IN \right\}=\left\{-1,1\right\} [/mm] sein ?!
Und da ja nicht unendlich viele Elemente in dieser Menge liegen können, existiert kein HP ?!
Wenn ich nun das ganze auf mein Beispiel anwende folgt doch:
[mm] \left\{ \frac{1}{n}, n\in\IN \right\}=\left\{0\right\}
[/mm]
--> ein HP nämlich die 0.
Richtig so ? oder habe ich dich falsch verstanden ?
(Habe leider nur Erklärungen und Definitionen zu HP von Folgen in meinem Analysis für Physiker Skriptum. Leider nicht für Mengen)
> >
> > zu 2.)
> >
> > Hier nutze ich das Majorantenkriterium: "Eine Reihe, die
> > eine konvergente Majorante besitzt, ist absolut
> > konvergent"
> >
> > Also muss die Majorante der Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm]
> > doch nicht zwingend eine geometrische Reihe sein.
> >
> > Suche ich allerdings in meinen durchgerechneten Beispielen
> > nach absoluter Konvergenz, so habe ich sie jedes mal mit
> > der geometrischen Reihe als Majorante gezeigt :(
>
> Tatsächlich ? Betrachte mal [mm]\sum \bruch{1}{n^2}.[/mm] Diese
> Reihe konv. absolut.
>
> Nun nimm als an, es gäbe ei q [mm]\in[/mm] (0,1) und ein N [mm]\in \IN[/mm]
> mit:
>
> [mm]\bruch{1}{n^2} \le q^n[/mm] für n >N.
>
> Das geht in die Hosen. Siehst Du warum ?
>
wenn ich das richtig sehe, dann muss ja q<1 sein.
und wenn ich nun [mm] \bruch{1}{n^2} \le q^n [/mm] umforme in
[mm] n^2*q^{n} \ge [/mm] 1 , sehe ich doch dass dies nicht stimmen kann da ja |q|<1.
> > Nur wie könnte ich das zeigen?
> >
> >
> > zu 3.)
> >
> > Dazu habe ich leider gar nichts gefunden :/ Und komme auch
> > mit der Überlegung nicht ganz klar. Warum sollte denn die
> > Funktion f(x) maximal den grad 2 besitzten, wenn sie auf
> > ganz [mm]\IR[/mm] beschränkt ist ?!
>
> Tipp: 1. Ist p ein Polynom, so ist p'' wieder ein Polynom.
> 2. Ist q ein Polynom vom Grad [mm]\ge[/mm] 1, so ist q auf [mm]\IR[/mm]
> nicht beschränkt.
Dann müsste die Aussage "Ein Polynom, dessen 2. Ableitung auf ganz $ [mm] \IR [/mm] $ beschränkt ist, kann maximal vom Grad 2 sein." korrekt sein.
denn wenn ich ein Polynom 2. Grades 2 mal ableite, habe ich ein Polynom vom Grad < 1. Demnach ist es auf ganz [mm] \IR [/mm] beschränkt.
>
>
> >
> > zu 4.)
> >
> > Ich verstehe nicht was mein Professor unter echt rationaler
> > Funktion versteht. Wenn r(x) kein Polynom ist, wie kann es
> > dann eine rationale Funktion sein?
> > eine rationale Funktion wäre doch r(x)=p(x)/q(x) ,
> wobei
> > p(x) und q(x) Polynome sind ...
>
> Ja, dabei ist auch zugelassen, dass q konstant =1 ist.
> Kurz: Polynome sind auch rationale Funktionen.
>
Wenn q=1 und p(x) ein beliebiges Polynom, dann ist doch r(x) auch ein Polynom. Die Angabe sagt allerdings, dass r(x) kein Polynom sein soll :-/
>
> >
> > zu 5.)
> >
> > Diese Aussage müsste doch richtig lauten:
> >
> > "ist f auf [mm]\left[ a,b \right][/mm] stetig, dann ist f
> > integrierbar auf [mm]\left[ a,b \right]"[/mm]
>
> Da ist was anderes !
> >
> > Und laut bei den 2 Definitionen zur "lokalen
> > Integrierbarkeit" wird jeweis nur etweder (a,b], oder [ a,b
> > ) betrachtet, nie ein offenes Intervall.
>
>
> Dann hattet Ihr nie sowas:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{x^2-x}dx}[/mm]
>
> ?
>
> Doch das hattet Ihr sicher.
>
Handelt es sich hierbei um ein uneigentliches Integral ?
Wenn ja wie kann ich das auf meine Aufgabe anwenden ?
Es erinnert mich aber auch stark an eine divergente Teleskop-Reihe ...
> FRED
Liebe Grüße, Meely :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Fr 02.03.2012 | | Autor: | meely |
Hallo nochmal :)
Ich glaube ich habe nun Aufgabe NR 4 verstanden.
Da es sich ja um ein uneigentliches Integral handeln sollte, so hat natürlich nicht jedes Integral [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] in (a,b) einen Wert.
Wie zum Beispiel:
[mm]\integral_{-2}^{1}{ \frac{1}{1+x^2}dx}[/mm] (das Beispiel habt ihr mir zum Glück mal genauer erklärt :) )
Demnach wäre Die Aussage eben falsch und mein Gegenbeispiel habe ich ja dann auch gefunden ?!
Liebe Grüße Meely :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Fr 02.03.2012 | | Autor: | meely |
Ich glaube ich habe jetzt verstanden was eine "echt rationale Fkt." ist :)
f(x)=[mm]\bruch{1}{x+1}[/mm] wäre doch eine echt rationale Funktion.
würde ich nun eine Taylorentwicklung durchführen:
[mm]f(x)=f(x_0)+\bruch{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\bruch{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+..+\bruch{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_{n+1}(x)[/mm]
hätte es ja tatsächlich unendlich viele Glieder die von 0 verschieden sind, für [mm] x_0[/mm] [mm]\not=[/mm]-1
fa ja [mm]f'(x)=\bruch{-1}{(x+1)^2}
[/mm] , [mm]f''(x)=\bruch{2}{(x+1)^3}
[/mm] ,...
Liebe Grüße, Meely
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 04.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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