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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Mija |
| Aufgabe | Seien [mm] $T_1$ [/mm] und [mm] $T_2$ [/mm] Theorien. Beweise oder widerlege die folgenden Behauptungen:
a) Für alle Formeln $A$ gilt [mm] $T_1 \cup T_2 \models [/mm] A$ genau dann, wenn [mm] $T_1 \models [/mm] A$ oder [mm] $T_2 \models [/mm] A$.
b) Für alle Formeln $A$ gilt: [mm] $T_1 \cap T_2 \models [/mm] A$ genau dann, wenn [mm] $T_1 \models [/mm] A$ und [mm] $T_2 \models [/mm] A$. |
Hallo,
wie kann ich obenstehende Aufgabe zeigen?
Es sieht ja eigentlich sehr trivial aus..
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Fr 11.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien [mm]T_1[/mm] und [mm]T_2[/mm] Theorien. Beweise oder widerlege die
> folgenden Behauptungen:
> a) Für alle Formeln [mm]A[/mm] gilt [mm]T_1 \cup T_2 \models A[/mm] genau
> dann, wenn [mm]T_1 \models A[/mm] oder [mm]T_2 \models A[/mm].
> b) Für alle
> Formeln [mm]A[/mm] gilt: [mm]T_1 \cap T_2 \models A[/mm] genau dann, wenn [mm]T_1 \models A[/mm]
> und [mm]T_2 \models A[/mm].
> Hallo,
>
> wie kann ich obenstehende Aufgabe zeigen?
Na, erstmal schaust du nach, was so eine Theorie ueberhaupt ist, und dann ueberlegst du dir, ob die beiden Implikationen ueberhaupt stimmen 
Ein Tipp: mindestens eins von beiden ist falsch. Und ich denke mindestens eins von beiden ist auch richtig.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Mija |
Theorien sind endliche oder unendliche Kollektionen von Formeln.
Man sagt, [mm] $\mathfrak{V}$ [/mm] erfüllt eine Theorie, wenn wir haben [mm] $\widehat{\mathfrak{V}}(A) [/mm] = [mm] \mathbf{t} \forall [/mm] A [mm] \in [/mm] T$. In diesem Fall schreiben wir [mm] $\mathfrak{V} \models [/mm] T$.
Eine Formel $A$ ist eine logische Konsequenz von T, wenn wir haben [mm] $\widehat{\mathfrak{V}}(A) [/mm] = [mm] \mathbf{t} \forall \mathfrak{V}$, [/mm] die T erfüllen. In diesem Fall schreiben wir $T [mm] \models [/mm] A$.
Meinem Gefühl nach stimmt Behauptung b und Behauptung a ist falsch. Habe ich recht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Fr 11.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mija,
> Meinem Gefühl nach stimmt Behauptung b und Behauptung a
> ist falsch. Habe ich recht?
anders als Felix halte ich beide Behauptungen für falsch. Es stimmt jeweils eine der beiden Implikationen. Du solltest herausfinden, welche, um einen Ansatzpunkt für die Gegenbeispiele zu haben.
Versuche es dazu mal anschaulich (und damit nicht mathematisch exakt):
a) Wenn aus Voraussetzungen [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] gemeinsam A folgt, muss dann schon aus einer der beiden Voraussetzungen A folgen?
Umgekehrt: Wenn z.B. [mm] T_1 [/mm] die Aussage A impliziert, implizieren dann [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] zusammen auch A?
b) Wenn die "Voraussetzungen", die [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] gemeinsam haben, schon A implizieren, impliziert dann z.B. die ganzen Voraussetzungen [mm] T_1 [/mm] die Aussage A?
Umgekehrt: Wenn [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] jeweils A implizieren, müssen dann [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] so viel gemeinsam haben, dass dieses Gemeinsame auch schon A impliziert?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:11 Sa 12.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
Felix hat völlig recht, wenn er (wie bei Wikipedia) unter einer Theorie eine deduktiv abgeschlossene Formelmenge versteht.
Bei Mija sind jedoch Theorien offenbar beliebige Formelmengen. Dann sind in der Tat beide Aussagen falsch.
Aber das konnte Felix noch gar nicht wissen, als er seine Antwort schrieb.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Fr 11.11.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Bei solchen Formulierungen würde ich auch kirre im Kopf werden.
Aber mache es einfach mal so: Heute ist Freitag, der Elfte
Sezte einfach mal:
[mm] T_{11}: [/mm] Freitag - [mm] T_{12}: [/mm] Sonntag
[mm] T_{21}: [/mm] der 11. - [mm] T_{22}: [/mm] der 13.
Und nun kombiniere jeden Wochentag mit jedem Datum (das gibt ja insgesamt 4 Kombinationen).
Und dann schaue, wo die Aussagen richtig sind.
Das alles ist zwar alles weniger "mathematisch exakt", aber im Endeffekt sollte es zur richtigen Logik führen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:14 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Mija |
Ich hab das ganze mal gemacht und habe jetzt raus, dass die Behauptung a) gilt, und dass b) nicht gilt.
Stimmt's? :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 15.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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