Tipp < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:55 Sa 06.12.2014 | | Autor: | Aalgebra |
| Aufgabe | Sei [mm] (v_{i}) [/mm] i [mm] \in [/mm] I eine Familie von Vektoren in V und W [mm] \not= [/mm] {0}
Zeigen Sie: Falls es zu jeder Familie [mm] (w_{i}) [/mm] i [mm] \in [/mm] I von Elementen aus W genau eine K-Lineare Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W mit [mm] f(v_{i}) [/mm] = [mm] (w_{i}) [/mm] gibt, so ist [mm] (v_{i}) [/mm] i [mm] \in [/mm] I eine Basis von V. |
Hallo,
um die oben stehende Aufgabe zu beweisen bin ich wie folgt vorgegangen:
Indirekter Beweis:
"Angenommen [mm] (v_{i}) [/mm] i [mm] \in [/mm] I ist keine Basis von V, dann treten die zwei Fälle auf:
i) [mm] (v_{i}) [/mm] ist kein Erzeugendensystem
ii) [mm] (v_{i}) [/mm] ist ein linear abhängiges Erzeugendensystem
i)
Wenn [mm] (v_{i}) [/mm] keine Basis ist, so ist es auch kein Erzeugendensystem. Demnach lässt sich nicht jeder Vektor v [mm] \in [/mm] V als eindeutige Linearkombination der [mm] (v_{i}) [/mm] darstellen, sodass die Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W
w = f(v) = [mm] \summe_{i=1}^{I} \lambda_{i} f(v_{i})
[/mm]
nicht immer möglich ist. Somit kann es vorkommen, dass es KEINE K-lineare Abbildung gibt.
ii)
Wenn [mm] (v_{i}) [/mm] keine Basis ist, so ist es ein linear abhängiges Erzeugendensystem. Aus der linearen Abhängigkeit folgt
0 = [mm] \summe_{i=1}^{I} \lambda_{i} (v_{i}), [/mm] nicht alle [mm] \lambda_{i} [/mm] = 0
[mm] v_{I} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{I-1} \bruch{\lambda_{i}}{\lambda_{I}} (v_{i})
[/mm]
Der Vektor [mm] v_{I} [/mm] lässt sich also als [mm] 1v_{I} [/mm] und als [mm] \summe_{i=1}^{I-1} \bruch{\lambda_{i}}{\lambda_{I}} (v_{i}) [/mm] darstellen.
Will man nun diesen Vektor [mm] v_{I} [/mm] abbilden, so existieren nun zwei (oder mehr) k-lineare Abbildungen
[mm] f(v_{I}) [/mm] = [mm] w_{I}
[/mm]
[mm] f(\summe_{i=1}^{I-1} \bruch{\lambda_{i}}{\lambda_{I}} (v_{i})) [/mm] = [mm] w_{I}
[/mm]
für [mm] w_{I}.
[/mm]
Die Existenz von keiner oder mehreren K-Linearen Abbildung ist genau die Verneinung von "genau eine" k-lineare Abbildung, womit der Beweis erbracht wurde."
Soo, ich bin mir leider sehr unsicher bei meinem Beweis, da ich langsam daran zweifle, ob ich wirklich gezeigt habe, dass es keine/mehrere Abbildungen gibt. Viel mehr zeige ich ja bloß, dass manche Vektoren nicht oder doppelt abgebildet werden, die Funktion die dies tut, bleibt ja aber eigentlich die ganze Zeit die selbe, was ja nicht die Verneinung der Aussage A wäre, zumal mir die Aufgabe sonst auch etwas zu leicht vorkäme.
Ich hoffe, jemand kann mir hierbei helfen.
Vielen Dank
Aalgebra
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Di 09.12.2014 | | Autor: | hippias |
Du hast Dir sehr viel Muehe gegeben, aber leider sehe ich nicht, wie ich Deine Gedanken leicht zu einem Beweis ausbauen kann - wenn das ueberhaupt moeglich ist.
Daher moechte ich einen etwas anderen Weg vorschlagen.
Die lineare Unabhaegigkeit moechte ich wie Du indirekt beweisen. Dazu nehme ich an, es gibt [mm] $\lambda_{i}\in [/mm] K$ und $k [mm] \in [/mm] I$, so dass [mm] $v_{k}= \sum_{i\in I, i\neq k} \lambda_{i} v_{i}$ [/mm] gilt. Um dies zu einem Widerspruch zu fuehren, waehle z.B. [mm] $w_{k},w_{i}\in [/mm] W$ so, dass die zugehoerige lin. Abbildung $f$, die die $v's$ auf die $w's$ abbildet, die rechte Seite auf $0$ abbildet, die linke Seite aber nicht.
Die Eindeutigkeit von $f$ wird in diesem Teil nicht benoetigt, aber [mm] $W\neq [/mm] 0$.
Nun soll gezeigt werden, dass die [mm] $v_{i}$ [/mm] ganz $V$ erzeugen. Auch hier fuehre einen Widerspruchsbeweis, indem Du annimmst, dass das Erzeugnis $U$ der [mm] $v_{i}$ [/mm] ist kleiner als $V$.Du hast gelernt, dass es einen Teilraum [mm] $U'\leq [/mm] V$ gibt, sodass $V= [mm] U\oplus [/mm] U'$ ist.
Um mit der Eindeutigkeit von $f$ einen Widerspruch zu erzeugen, waehle [mm] $w_{i}\in [/mm] W$ beliebig. Und sei [mm] $f:V\to [/mm] W$ mit [mm] $f(v_{i})= w_{i}$. [/mm] Mache Dir klar, dass Du $f$ auf $U'$ beliebig abaendern kannst, ohne die Eigenschaft [mm] $f(v_{i})= w_{i}$ [/mm] zu verletzten.
Auch fuehr diesen Teil wird [mm] $W\neq [/mm] 0$ beneotigt.
So aehnlich kann man es machen. Versuche die Luecken auzufuellen.
|
|
|
|
