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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Di 23.11.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | | Leiten Sie das Additionstheorem cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y) mit Hilfe der Eulerschen Relationen her. |
Hallo mal wieder!
Ich weiß leider garnicht wie ich daran gehen soll.
So eine Aufgabe kam auch in der letzten Prüfung dran, und ich konnte sie nicht beantworten (hatte es damals auf den Zeitdruck geschoben, aber wie es aussieht bringt mich da auch kein längeres nachdenken zum Ziel).
Damit ich für die nächste Klausur gerüstet bin, würde ich diese Aufgabe sehr gerne nochmal Schritt-für-Schritt lösen.
Ich kenne zumindest schonmal die Eulersche Relation: [mm] e^{i\alpha}=cos(\alpha)+isin(\alpha).
[/mm]
Hilf mir hier so ein Ansatz wie [mm] e^{i(x+y)}=cos(x+y)+isin(x+y) [/mm] weiter?
Sorry mir fällt einfach nicht ein wie es weiter geht:(
Schöne Grüße, stffn.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja , der hilft dir weiter.
[mm] e^{i{x+y)}=e^(ix}*e^{iy}
[/mm]
oder du drückst cosx und sinx durch die exp.fkt aus. einfach mal munter los.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mi 24.11.2010 | | Autor: | stffn |
Alles klar! das munter drauf losrechnen hat sogar zu einem Ergebnis geführt (und das auch noch beim ersten versuch)! Fragt sich nur ob es richtig ist und ob man das so machen kann:
Also erstmal weiß ich ja von der Eulerrelation folgendes:
[mm] e^{i(x+y)}=cos(x+y)+isin(x+y)
[/mm]
Jetzt habe ich erstmal fröhlich umgeformt:
----
[mm] e^{i(x+y)}=cos(x+y)+isin(x+y)=(cosx+isinx)(cosy+isiny)
[/mm]
=cosxcosy+isinycosx+isinxcosy-sinxsiny
=cosxcosy+i(sinycosx+sinxcosy)-sinxsiny.
Jetzt sehe ich ja schonmal einen Teil des gesuchten Additionstheorems, das was in der Mitte steht ist ja ein eigenes für sich:
sinycosx+sinxcosy=sin(x+y).
[mm] \Rightarrow [/mm] ...=cosxcosy+isin(x+y)-sinxsiny.
----
So. Jetzt kann ich den ersten Therm dieser umformung mit dem letzten gleichsetzen:
[mm] e^{i(x+y)}=cosxcosy+isin(x+y)-sinxsiny
[/mm]
[mm] \gdw e^{i(x+y)}-isin(x+y)=cosxcosy-sinxsiny
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] cos(x+y)+isin(x+y)-isin(x+y)=cosxcosy-sinxsiny
[mm] \gdw [/mm] cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny.
Das wars mit meiner Rechnung. Ist die Aufgabe damit vollständig erledigt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Mi 24.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Alles klar! das munter drauf losrechnen hat sogar zu einem
> Ergebnis geführt (und das auch noch beim ersten versuch)!
> Fragt sich nur ob es richtig ist und ob man das so machen
> kann:
>
> Also erstmal weiß ich ja von der Eulerrelation folgendes:
>
> [mm]e^{i(x+y)}=cos(x+y)+isin(x+y)[/mm]
>
> Jetzt habe ich erstmal fröhlich umgeformt:
> ----
> [mm]e^{i(x+y)}=cos(x+y)+isin(x+y)=(cosx+isinx)(cosy+isiny)[/mm]
> =cosxcosy+isinycosx+isinxcosy-sinxsiny
> =cosxcosy+i(sinycosx+sinxcosy)-sinxsiny.
>
> Jetzt sehe ich ja schonmal einen Teil des gesuchten
> Additionstheorems, das was in der Mitte steht ist ja ein
> eigenes für sich:
> sinycosx+sinxcosy=sin(x+y).
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ...=cosxcosy+isin(x+y)-sinxsiny.
> ----
> So. Jetzt kann ich den ersten Therm dieser umformung mit
> dem letzten gleichsetzen:
>
> [mm]e^{i(x+y)}=cosxcosy+isin(x+y)-sinxsiny[/mm]
> [mm]\gdw e^{i(x+y)}-isin(x+y)=cosxcosy-sinxsiny[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> cos(x+y)+isin(x+y)-isin(x+y)=cosxcosy-sinxsiny
> [mm]\gdw[/mm] cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny.
>
> Das wars mit meiner Rechnung. Ist die Aufgabe damit
> vollständig erledigt?
Ja. Aber sehr umständlich. Du warst weiter oben schon fast fertig !
Du hattest:
$ [mm] e^{i(x+y)}=cos(x+y)+isin(x+y)=(cosx+isinx)(cosy+isiny)$
[/mm]
$=cosxcosy+isinycosx+isinxcosy-sinxsiny$
$=cosxcosy+i(sinycosx+sinxcosy)-sinxsiny. $
Also ist
$cos(x+y)+isin(x+y)= cosxcosy+sinxcosy -sinxsiny+i(sinycosx+sinxcosy)$
Edit: es muß natürlich lauten:
$cos(x+y)+isin(x+y)= cosxcosy -sinxsiny+i(sinycosx+sinxcosy)$
Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert das Gewünschte
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mi 24.11.2010 | | Autor: | stffn |
cos(x+y)+isin(x+y)= cosxcosy +sinxcosy -sinxsiny +i(sinycosx+sinxcosy)
Danke für die schnelle Antwort!
Aber was ist denn mit dem rot markierten? das gehört doch mit zu dem Realteil, womit das Additionstheorem ja nicht mehr stimmen würde.
War das vielleicht nur ein tippfehler?;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Mi 24.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> cos(x+y)+isin(x+y)= cosxcosy +sinxcosy -sinxsiny
> +i(sinycosx+sinxcosy)
>
> Danke für die schnelle Antwort!
> Aber was ist denn mit dem rot markierten?
Upps ! Da ist mir bei Copy und Paste was daneben gegangen ! Streich es einfach.
FRED
> das gehört doch
> mit zu dem Realteil, womit das Additionstheorem ja nicht
> mehr stimmen würde.
> War das vielleicht nur ein tippfehler?;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Mi 24.11.2010 | | Autor: | stffn |
Danke!!
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