Tipp < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:57 So 19.02.2012 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Rang von A, untersuchen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b auf Lösbarkeit und bestimmen Sie eine Parameterdarstellung seiner Lösungsmenge falls Lösbar.
A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 5 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & -1 }
[/mm]
b = [mm] \pmat{ -1 \\ 2 \\ 1 } [/mm] |
Hi,
Der Rang von A ist ja nun 2, denn nachm Gauß
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Der Rang von A|b ist auch 2 , denn Gauß sagt
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 & 2 & -1& -1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0&0 }
[/mm]
Demnach ist rg(A) = rg(A|b) und das lgs sollte mindestens eine Lösung haben.
Wie schreibe ich nun die Lösungsmenge auf ?
lg
Flo
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie den Rang von A, untersuchen Sie das lineare
> Gleichungssystem Ax = b auf Lösbarkeit und bestimmen Sie
> eine Parameterdarstellung seiner Lösungsmenge falls
> Lösbar.
>
> A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 5 & 3 & -2 \\
1 & 3 & 0 & -1 & -1 \\
1 & 2 & 1 & 0 & -1 }[/mm]
>
> b = [mm]\pmat{ -1 \\
2 \\
1 }[/mm]
> Hi,
> Der Rang von A ist ja nun 2, denn nachm Gauß
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Der Rang von A|b ist auch 2 , denn Gauß sagt
> [mm]\pmat{\red{ 1} & 0 & 3 & 2 & -1&|& -1 \\
0 & \red{1 }& -1 & -1 & -1 &|& 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0&|&0 }[/mm]
>
> Demnach ist rg(A) = rg(A|b) und das lgs sollte mindestens
> eine Lösung haben.
> Wie schreibe ich nun die Lösungsmenge auf ?
Hallo,
Deine ZSF habe ich nicht geprüft.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1 und 2, und Du kannst daher die 3., 4. und 5. Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_3:=r
[/mm]
[mm] x_4:=s
[/mm]
[mm] x_5=t
[/mm]
bekommst Du aus Zeile 2
[mm] x_2=1+r+s+t,
[/mm]
aus Zeile 1
[mm] x_1=-1-3r-2s+t.
[/mm]
Damit weißt Du, daß alle Lösungen x die Gestalt haben
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{-1-3r-2s+t\\1+r+s+t\\r\\s\\t}=\vektor{-1\\1\\0\\0\\0}+r\vektor{-3\\1\\1\\0\\0}+s\vektor{-2\\1\\0\\1\\0}+t\vektor{1\\1\\0\\0\\1}, r,s,t\in \IR.
[/mm]
Als Menge kannst Du schreiben
[mm] L(A,b)=\vektor{-1\\1\\0\\0\\0}+\green{<\vektor{-3\\1\\1\\0\\0},\vektor{-2\\1\\0\\1\\0},\vektor{1\\1\\0\\0\\1}>}.
[/mm]
Der erste Vektor ist eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS,
das Grüne ist der Lösungsraum des zugehörigen homogenen Systems, der Kern von A.
Die spitzen Klammern bedeuten hier Erzeugnis/Span/lineare Hülle, möglicherweise habt Ihr eine andere Schreibweise dafür.
In den spitzen Klammern steht eine Basis des Kerns/Lösungsraumes des homogenen Systems.
Da Du die Matrix bereits in reduzierter ZSF hast, möchte ich Dir noch einen Schimpansenmathematikweg zur Lösungsmenge, den "-1-Trick" zeigen.
1. In die red.ZSF Nullzeilen so einschieben, daß die Koeffizientenmatrix quadratisch wird und die führenden Elemente der Nichtnullzeilen auf der Diagonalen stehen. (Hier: auf der Diagonalen stehenbleiben:
[mm]\pmat{\red{ 1} & 0 & 3 & 2 & -1&|& -1 \\
0 & \red{1 }& -1 & -1 & -1 &|& 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0&|&0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0&|&0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0&|&0}[/mm]
2. Von der Koeffizientenmatrix die Einheitsmatrix subtrahieren:
[mm]\pmat{0 & 0 & 3 & 2 & -1&|& -1 \\
0 & 0& -1 & -1 & -1 &|& 1 \\
0 & 0 & \green{-1} & 0 & 0&|&0 \\
0 & 0 & 0 & \green{-1} & 0&|&0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \green{-1}&|&0}[/mm]
3. rechts steht eine spezielle Lösung des Systems, und die Spalten mit den frischen Minuseinsen auf der Hauptdiagonalen sind eine Lösung des zugehörigen inhomogenen Systems, so daß man schnell hinschreiben kann
[mm] L(A,b)=\vektor{-1\\1\\0\\0\\0}+<\vektor{3\\-1\\-1\\0\\0},\vektor{2\\-1\\0\\-1\\0},\vektor{-1\\-1\\0\\0\\-1}>.
[/mm]
Mit etwas Üung kriegt man das hin, indem man die Matrix nur im Geist erweitert.
Eine kleine Panne stelle ich fest: bei Testen der ermittelten Lösungsmenge am LGS Ax=b zeigt sich, daß diese nicht stimmt.
(spezielle Lsg in Ax einsetzen: b muß rauskommen
Basisvektoren des Kerns einsetzen: 0 muß rauskommen)
Ich nehme stark an, daß Dir beim Weg zur reduzierten ZSF ein Fehler unterlaufen ist.
Prüfe das nochmal, ermittle dann erneut die Lösung und teste, ob sie stimmt.
LG Angela
> lg
> Flo
|
|
|
|
