matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - MatrizenToeplitz Matrix pos. def.
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Toeplitz Matrix pos. def.
Toeplitz Matrix pos. def. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Toeplitz Matrix pos. def.: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Di 02.12.2014
Autor: Baii

Aufgabe
Für welche [mm] {a}\in\mathbb [/mm] R ist die Matrix A= [mm] \pmat{1 & a & a & a & a & ... & a \\ a & 1 & a & a & a & ... & a \\ a & a & 1 & a & a & ... & a \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a & ... & a & a & a & 1 & a \\ a & ... & a & a & a & a & 1 } \in \mathbb R^{n\times n} [/mm]

positiv definit?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Gibt es für solche Matrizen spezielle Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte? Ich habe es nicht hinbekommen Zeilen und Spalten miteinander zu kombinieren, dass eine Dreiecksmatrix herauskommt.

Anscheinend ist A eine Toeplitz und speziell sogar eine "circulant matrix", auf der Wikipedia Seite habe ich auch eine Formel für die Eigenwerte gefunden:
http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix

Hilft das irgendwie weiter oder gibt es eine einfachere Herangehensweise, die mir jetzt nur nicht einfällt?

Grüße
Baii

        
Bezug
Toeplitz Matrix pos. def.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:08 Mi 03.12.2014
Autor: fred97


> Für welche [mm]{a}\in\mathbb[/mm] R ist die Matrix A= [mm]\pmat{1 & a & a & a & a & ... & a \\ a & 1 & a & a & a & ... & a \\ a & a & 1 & a & a & ... & a \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a & ... & a & a & a & 1 & a \\ a & ... & a & a & a & a & 1 } \in \mathbb R^{n\times n}[/mm]
>  
> positiv definit?
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Gibt es für solche Matrizen spezielle Verfahren zur
> Bestimmung der Eigenwerte? Ich habe es nicht hinbekommen
> Zeilen und Spalten miteinander zu kombinieren, dass eine
> Dreiecksmatrix herauskommt.
>  
> Anscheinend ist A eine Toeplitz und speziell sogar eine
> "circulant matrix", auf der Wikipedia Seite habe ich auch
> eine Formel für die Eigenwerte gefunden:
>  http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix
>  
> Hilft das irgendwie weiter oder gibt es eine einfachere
> Herangehensweise, die mir jetzt nur nicht einfällt?

Mit obiger Formel

  

    [mm] \lambda_j [/mm] = [mm] c_0+c_{n-1} w_j [/mm] + [mm] c_{n-2}w_j^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] c_{1} w_j^{n-1}, \qquad j=0\ldots [/mm] n-1.

haben wir, da [mm] c_0=1 [/mm] und [mm] c_j=a [/mm] für j [mm] \ge [/mm] 1 ist:

[mm] \lambda_j=1+a(w_j+w_j^2+...+w_j^{n-1}) \qquad j=0\ldots [/mm] n-1.

Ist j=0 so ist [mm] \lambda_0=1+(n-1)a [/mm]

Für j [mm] \ge [/mm] 1 ist (nachrechnen !, endliche geometrische Reihe)

[mm] \lambda_j=1-a [/mm]

FRED

>  
> Grüße
>  Baii


Bezug
                
Bezug
Toeplitz Matrix pos. def.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:08 Do 04.12.2014
Autor: Baii

Danke für die Hilfe!

Ich habe jetzt für [mm] j\geq1: [/mm]
[mm] \lambda_j=1+a(\omega_j+\omega_j^2+...+\omega_j^{n-1}) [/mm]

Mit [mm] \omega_j+\omega_j^2+...+\omega_j^{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}\omega_j^k=\sum_{k=0}^{n-1}\omega_j^k-1=\frac{\omega_j^n-1}{\omega_j-1}-1=-1, [/mm]
denn [mm] \omega_j=exp(2\pi [/mm] ij)=1, da das Argument immer ein Vielfaches von [mm] 2\pi*i [/mm] ist.

Insgesamt habe ich dann [mm] \lambda_j=1-a [/mm] für [mm] j\geq [/mm] 1.

Das müsste so passen, oder?

Vielen Dank
Baii

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]