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Ich muss in einer Aufgabe zeigen, dass es sich um eine Topologie auf R^[a,b] handelt, hab aber keine Ahnung, wie ich das zeigen muss. Könnt ihr mir vielleicht helfen. Wir haben gegeben, dass T(Topologie) [mm] \subset [/mm] p(Potenzmenge) ( [mm] \IR^[a,b] [/mm] sei für R^[a,b] = {f: [a,b]--> [mm] \IR} [/mm] wiefolgt definiert : O [mm] \subset \IR^[a,b] [/mm] ist genau dann Element von T, wenn entweder O = [mm] \emptyset [/mm] oder es gilt: Es existiert eine endliche Menge {x1,...,xn} [mm] \subset [/mm] [a,b] und offene Menge =O1,...,On [mm] \subset \IR, [/mm] so dass [f [mm] \in [/mm] O [mm] \gdwf(xi) \in [/mm] Oi für alle i [mm] \in [/mm] {1,...,n}] gilt.
Ich meine, was eine Topologie ist, weiß ich, auch die Eigenschaften sind mir klar, aber ich kann es nicht auf ein Beispiel anwenden, da wir keines hatten und in Büchern auch nichts zu finden ist.
Ich wäre euch sehr sehr dankbar, wenn ihr mir ein wenig helfen könntet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sternchen!
Schreibe die Frage bitte noch einmal auf; es gibt zahlreiche Unklarheiten. Verwende zur besseren Lesbarkeit bitte unseren Formeleditor und betätige vor dem Absenden die Vorschau (um (selbst-)kritisch zu überprüfen, ob Leute, die die Aufgabenstellung nicht vor sich liegen haben, damit zurechtkommen).
> O [mm]\gdwf(xi) \in[/mm] Oi für alle i [mm]\in[/mm] {1,...,n}] gilt.
Was soll das bedeuten??? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Viele Grüße
Stefan
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Mein Problem ist, dass ich auch nicht ganz verstanden habe, was wir eigentlich wie gegeben haben. Am nesten ich schreib mal die Aufgabe so hin, wie wir sie gegeben haben:
Die Menge T(Topologie) [mm] \subset [/mm] P ( [mm] \IR [/mm] ^[a,b]) sei für R^[a,b] = {f: [a,b]--> [mm] \IR} [/mm] wiefolgt definiert : O [mm] \subset \IR^[a,b] [/mm] ist genau dann Element von T, wenn entweder O = [mm] \emptyset [/mm] oder es gilt: Es existiert eine endliche Menge {x1,...,xn} [mm] \subset [/mm] [a,b] und offene Menge =O1,...,On [mm] \subset \IR [/mm] , so dass [f [mm] \in [/mm] O [mm] \gdw [/mm] f(xi) [mm] \in [/mm] Oi für alle i [mm] \in{1,...,n}] [/mm] gilt.
Ich hoffe ich hab jetzt alles richig gemacht.
P sei definiert als die Potenzmenge
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, mich wundert im Moment, dass dies wirklich eine Topologie sein soll. Ich hätte eher vermutet, dass es sich um die Basis einer Topologie handelt, denn ich sehe nicht, warum beliebige Vereinigungen von Elementen dieser Topologie wieder Elemente der Topologie sein sollte. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Für endliche Durchschnitte dagegen ist das klar:
Für $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ sei
[mm] $\varphi_x [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^{[a,b]} & \to & \IR\\[5pt] f & \mapsto & f(x) \end{array}$.
[/mm]
Für [mm] $i=1,\ldots,n$ [/mm] sei nun [mm] $O^i$ [/mm] offen, d.h. es gilt für geeignete [mm] $x^i_1,\ldots,x_i^{m_i} \in [/mm] [a,b]$ und geeignete offene Mengen [mm] $O^i_1,\ldots,O^i_{m_i}$:
[/mm]
[mm] $O_i [/mm] = [mm] \bigcap\limits_{j=1}^{m_i} \varphi_{x_j^i}^{-1}(O_j^i)$,
[/mm]
und damit:
[mm] $O_1 \cap \ldots \cap O_n [/mm] = [mm] \bigcap\limits_{i=1}^n \bigcap\limits_{j=1}^{m_i} \varphi_{x_j^i}^{-1}(O_j^i)$,
[/mm]
so dass [mm] $O_1 \cap \ldots \cap O_n$ [/mm] nach Definition der Topologie wieder offen ist.
Viele Grüße
Stefan
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