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Forum "Topologie und Geometrie" - Topologie Blatt 1
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Topologie Blatt 1: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:52 Fr 15.10.2021
Autor: ireallydunnoanything

Aufgabe
Wir definieren für x, y [mm] \in \IR [/mm] die Abbildung |-|: [mm] R^2 \to [/mm] R+, |x| = [mm] \wurzel{x_1^2 + x_2^2} [/mm] (also der euklidische Abstand vom Ursprung) und setzen d(x,y) [mm] =\begin{cases} ||x-y||, & \mbox{x und y liegen auf einer Geraden durch 0} & \mbox{||x||+||y|| } sonst \end{cases} [/mm]

a) Zeigen Sie, dass d eine Metrik auf [mm] R^2 [/mm] definiert.

b) Skizzieren Sie die offenen Kugeln [mm] B_r(x) [/mm] für r > 0 ud x [mm] \in R^2. [/mm] Diese Metrik heißt französische Eisenbahnmetrik. Wieso ?


zu a) Ich weiß wie eine Metrik definiert ist (Positivität, Symmetrie und Dreiecksungleichung). Nur leider weiß ich nicht, wie ich in diesem Fall beweisen soll, dass dies eine Metrik ist. Für ein wenig Hilfe wäre ich sehr dankbar.

zu b) Diese Metrik heißt französische Eisenbahnmetrik, da das Eisenbahnnetz in Frankreich sehr auf Paris zentriert war und man deswegen oft große Umwege in Kauf nehmen musste, wenn man einen anderen Ort erreichen wollte. Ich bräuchte nur ein wenig Hilfe bei der Skizzierung der offenen Kugeln wie in der Aufgabe verlangt.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf anderen Webseiten gestellt.

        
Bezug
Topologie Blatt 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Fr 15.10.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  zu a) Ich weiß wie eine Metrik definiert ist
> (Positivität, Symmetrie und Dreiecksungleichung). Nur
> leider weiß ich nicht, wie ich in diesem Fall beweisen
> soll, dass dies eine Metrik ist. Für ein wenig Hilfe wäre
> ich sehr dankbar.

In dem du diese drei Eigenschaften nachweist!
Am Besten mit Fallunterscheidungen:

am Beispiel der Symmetrie ist zu zeigen: $d(x,y) = d(y,x)$
1. Fall: x,y liegen auf einer Geraden, dann ist $d(x,y) = [mm] \ldots$ [/mm]
2. Fall: x,y liegenn icht auf einer Geraden, dann ist $d(x,y) = [mm] \ldots$ [/mm]

die anderen Dinge analog.

> zu b) Diese Metrik heißt französische Eisenbahnmetrik, da
> das Eisenbahnnetz in Frankreich sehr auf Paris zentriert
> war und man deswegen oft große Umwege in Kauf nehmen
> musste, wenn man einen anderen Ort erreichen wollte.

Welchen Umweg genau?
Tipp: es ist im Fall $d(x,y) = ||x|| + ||y|| = ||x - 0|| + ||y-0||$
D.h. der Abstand von x und y lässt sich in Worten wie berechnen?

Gruß,
Gono

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