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Topologie Blatt 1: Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:56 Fr 15.10.2021
Autor: ireallydunnoanything

Aufgabe
Zeigen Sie in einem beliebigen metrischen Raum ein Beispiel für einen unendlichen Durchschnitt offener Mengen, der nicht offen ist.

Finden Sie eine unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen, die nicht abgeschlossen ist.


Für einen Ansatz zu dieser Aufgabe wäre ich sehr dankbar.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf anderen Webseiten gestellt.

        
Bezug
Topologie Blatt 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:08 Fr 15.10.2021
Autor: fred97


> Zeigen Sie in einem beliebigen metrischen Raum ein Beispiel
> für einen unendlichen Durchschnitt offener Mengen, der
> nicht offen ist.
>  
> Finden Sie eine unendliche Vereinigung abgeschlossener
> Mengen, die nicht abgeschlossen ist.
>  Für einen Ansatz zu dieser Aufgabe wäre ich sehr
> dankbar.

In beiden Beispielen sei [mm] \IR [/mm] versehen mit der Metrik $|x-y|.$

Für $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei [mm] $A_n:=(-1/n, [/mm] 1/n)$. Alle [mm] A_n [/mm] sind offen . Was ist der Durchschnitt aller [mm] A_n [/mm] ?

Für $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei [mm] $B_n=[0,1-1/n].$ [/mm] Alle [mm] B_n [/mm] sind abgeschlossen. Was ist die Vereinigung alle [mm] B_n [/mm] ?

>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf
> anderen Webseiten gestellt.


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