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Forum "Topologie und Geometrie" - Topologie Blatt 1
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Topologie Blatt 1: Aufgabe 3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:17 Fr 15.10.2021
Autor: ireallydunnoanything

Aufgabe 1
Eine Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y zwischen metrischen Räumen (X, [mm] d_x) [/mm] und (Y, [mm] d_y) [/mm] heitß Lipschitz-stetig, wenn es eine Konstante L > 0 gibt, sodass [mm] d_y(f(x)), f(y))\le L*d_x(x,y) \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X

Beweisen Sie, dass Lipschitz-Stetigkeit Stetigkeit impliziert.


Aufgabe 2
Es sei (x,d) ein metrischer Raum und [mm] A\subset [/mm] X eine nichtleere Teilmenge. Gegeben sei ein Punkt [mm] x\in [/mm] X. Zeigen Sie dass d(x,-): [mm] X\to [/mm] R eine stetige Funktion ist.

Wir setzen [mm] d(x,A):=inf{d(x,y)|y\in A} [/mm]

Zeigen Sie, dass d(-,A) eine stetige Funktion auf (X,d) definiert.

Beschreiben Sie die Menge [mm] (d(-,A))^{-1} [/mm] ({0}).


Aufgabe 3
Zeigen Sie, das für A, B [mm] \subset [/mm] X zwei nichtleere, disjunkte, abgeschlossene Teilmengen von X stetige Funktionen h: X [mm] \to [/mm] R existieren, die die Eigenschaft besitzen, dass [mm] h^{-1}({0}) [/mm] = A und [mm] h^{-1}({1}) [/mm] = B.


zu a) Mir ist klar, dass Lipschitz-Stetigkeit Stetigkeit impliziert. Nur leider habe ich keinerlei Idee, wie ich dies beweisen kann.

zu b und c) Über Ansätze zu diesen Aufgaben wäre ich sehr dankbar.

        
Bezug
Topologie Blatt 1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 Fr 15.10.2021
Autor: fred97


> Eine Abbildung f: X [mm]\to[/mm] Y zwischen metrischen Räumen (X,
> [mm]d_x)[/mm] und (Y, [mm]d_y)[/mm] heitß Lipschitz-stetig, wenn es eine
> Konstante L > 0 gibt, sodass [mm]d_y(f(x)), f(y))\le L*d_x(x,y) \forall[/mm]
> x,y [mm]\in[/mm] X
>  
> Beweisen Sie, dass Lipschitz-Stetigkeit Stetigkeit
> impliziert.
>  Es sei (x,d) ein metrischer Raum und [mm]A\subset[/mm] X eine
> nichtleere Teilmenge. Gegeben sei ein Punkt [mm]x\in[/mm] X. Zeigen
> Sie dass d(x,-): [mm]X\to[/mm] R eine stetige Funktion ist.
>
> Wir setzen [mm]d(x,A):=inf{d(x,y)|y\in A}[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass d(-,A) eine stetige Funktion auf (X,d)
> definiert.
>  
> Beschreiben Sie die Menge [mm](d(-,A))^{-1}[/mm] ({0}).
>  Zeigen Sie, das für A, B [mm]\subset[/mm] X zwei nichtleere,
> disjunkte, abgeschlossene Teilmengen von X stetige
> Funktionen h: X [mm]\to[/mm] R existieren, die die Eigenschaft
> besitzen, dass [mm]h^{-1}({0})[/mm] = A und [mm]h^{-1}({1})[/mm] = B.
>  zu a) Mir ist klar, dass Lipschitz-Stetigkeit Stetigkeit
> impliziert. Nur leider habe ich keinerlei Idee, wie ich
> dies beweisen kann.
>
> zu b und c) Über Ansätze zu diesen Aufgaben wäre ich
> sehr dankbar.


Zu Aufgabe 1 :

Sei [mm] x_0 \in [/mm] X und [mm] \epsilon [/mm] >0. Setze [mm] $\delta:= \epsilon/L. [/mm]

Zeige nun: ist x [mm] \in [/mm] X und [mm] d_X(x,x_0) [/mm] < [mm] \delta [/mm] , so ist [mm] d_Y(f(x),f(x_0)) [/mm] < [mm] \epsilon. [/mm]

Damit is f in [mm] x_0 [/mm] stetig. [mm] x_0 \in [/mm] X war bel., also ist f auf X stetig.

Eine Bitte: stelle Deine weiteren Fragen (Aufgaben) in einzelnen Posts

Bezug
                
Bezug
Topologie Blatt 1: einzelne Threads für Aufgaben
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:39 Fr 15.10.2021
Autor: ireallydunnoanything

Danke dir erstmal für deine schnelle Antwort.

Ich habe allerdings schon die Aufgaben in einzelne Threads verteilt. Soll ich jede Teilaufgabe in einen einzelnen Thread stecken ?

Bezug
                        
Bezug
Topologie Blatt 1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:50 Fr 15.10.2021
Autor: fred97


> Danke dir erstmal für deine schnelle Antwort.
>
> Ich habe allerdings schon die Aufgaben in einzelne Threads
> verteilt. Soll ich jede Teilaufgabe in einen einzelnen
> Thread stecken ?

Ja, das wäre gut.


Bezug
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