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Hallo zusammen
Haben gerade begonnen mit den Grundbegriffen der Topologie. Und ich habe da noch so meine Mühe damit...
Folgende Aufgabe sollte ich lösen:
a) Finde je ein Beispiel für eine Teilmenge von [mm] \IR^n, [/mm] die ihren Rand enthält; ihren Rand teilweise, aber nicht ganz enthält; ihren Rand nicht enthält.
b) Es sei (X,d) ein metrischer Raum und A [mm] \subset [/mm] X. Zeige:
i) [mm] \partial A=\partial(A^c)=\partial(A^{\circ})=\partial(\overline{A})
[/mm]
ii) [mm] \overline{A}=A^{\circ} \cup \partial(A) [/mm]
[mm] (\cup [/mm] sollte noch einen Punkt oben drauf haben, also eine ausschliessende Disjunktion sein)
c) [mm] \partial(AxB)=(\partial(A) [/mm] x [mm] \overline{B}) \cup (\overline{A} [/mm] x [mm] \partial(B))
[/mm]
So nun zu meinem Lösungsvorschlag:
a) Hier habe ich mir überlegt, dass ich doch einfach die folgenden Intervalle nehmen kann:
[0,1]: Teilmenge von [mm] \IR [/mm] mit Rand
[0,1): Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] die den Rand nur teilweise enthält
(0,1): Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] die den Rand nicht enthält
Kann ich das so machen?
b)
i) Hier gilt ja: x [mm] \in \partial(A) \gdw \forall \varepsilon>0: \exists x_0,x_1 \in B_{\varepsilon}, [/mm] s.d. [mm] x_0 \not\in [/mm] A & [mm] x_1 \in [/mm] A
So nun für [mm] \partial(A^c): [/mm]
x [mm] \in \partial(A^c) \gdw \forall \varepsilon>0: \exists x_0,x_1 \in B_{\varepsilon}, [/mm] s.d. [mm] x_0 \not\in A^c [/mm] & [mm] x_1 \in A^c [/mm]
Nach Definition des Komplements gilt nun:
[mm] \gdw \forall \varepsilon>0: \exists x_0,x_1 \in B_{\varepsilon}, [/mm] s.d. [mm] x_0 \not\in X\A [/mm] & [mm] x_1 \in X\A [/mm]
wobei [mm] x_0 \not\in X\A \gdw x_0 \in [/mm] A & [mm] x_1 \in X\A \gdw x_1 \not\in [/mm] A
Kann ich das so machen? Oder könnte ich es auch anders zeigen?
ii)
Hier habe ich nun einige Schwierigkeiten:
Es gilt nach Definition des Abschlusses:
x [mm] \in \overline{A} \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] x [mm] \in \partial(A) [/mm]
Wie kann ich nun von dieser Definition aus, zeigen dass die Behauptung gilt?
c) Hier sollte ich einen Tipp von euch haben...??
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Kann mir niemand helfen?
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Die a) ist richtig. Zu den anderen Sachen: Kennst du topologische Räume, oder musst du mit metrischen Räumen und epsilons rumrechnen?
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Hallo,
> Hallo zusammen
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> Haben gerade begonnen mit den Grundbegriffen der Topologie.
> Und ich habe da noch so meine Mühe damit...
> Folgende Aufgabe sollte ich lösen:
>
> a) Finde je ein Beispiel für eine Teilmenge von [mm]\IR^n,[/mm] die
> ihren Rand enthält; ihren Rand teilweise, aber nicht ganz
> enthält; ihren Rand nicht enthält.
>
> b) Es sei (X,d) ein metrischer Raum und A [mm]\subset[/mm] X. Zeige:
> i) [mm]\partial A=\partial(A^c)=\partial(A^{\circ})=\partial(\overline{A})[/mm]
>
> ii) [mm]\overline{A}=A^{\circ} \cup \partial(A)[/mm]
> [mm](\cup[/mm] sollte noch einen Punkt oben drauf haben, also eine
> ausschliessende Disjunktion sein)
>
> c) [mm]\partial(AxB)=(\partial(A)[/mm] x [mm]\overline{B}) \cup (\overline{A}[/mm]
> x [mm]\partial(B))[/mm]
>
>
>
>
> So nun zu meinem Lösungsvorschlag:
>
> a) Hier habe ich mir überlegt, dass ich doch einfach die
> folgenden Intervalle nehmen kann:
> [0,1]: Teilmenge von [mm]\IR[/mm] mit Rand
> [0,1): Teilmenge von [mm]\IR,[/mm] die den Rand nur teilweise
> enthält
> (0,1): Teilmenge von [mm]\IR,[/mm] die den Rand nicht enthält
>
> Kann ich das so machen?
Im Prinzip schon. Aber denk dran, dass du Beispiele für den [mm] \IR^n [/mm] angeben sollst. Verallgemeinere also deine Aussage.
>
>
> b)
> i) Hier gilt ja: x [mm]\in \partial(A) \gdw \forall \varepsilon>0: \exists x_0,x_1 \in B_{\varepsilon},[/mm]
> s.d. [mm]x_0 \not\in[/mm] A & [mm]x_1 \in[/mm] A
> So nun für [mm]\partial(A^c):[/mm]
> x [mm]\in \partial(A^c) \gdw \forall \varepsilon>0: \exists x_0,x_1 \in B_{\varepsilon},[/mm]
> s.d. [mm]x_0 \not\in A^c[/mm] & [mm]x_1 \in A^c[/mm]
> Nach Definition des Komplements gilt nun:
> [mm]\gdw \forall \varepsilon>0: \exists x_0,x_1 \in B_{\varepsilon},[/mm]
> s.d. [mm]x_0 \not\in X\A[/mm] & [mm]x_1 \in X\A[/mm]
> wobei [mm]x_0 \not\in X\A \gdw x_0 \in[/mm] A & [mm]x_1 \in X\A \gdw x_1 \not\in[/mm]
> A
>
> Kann ich das so machen? Oder könnte ich es auch anders
> zeigen?
>
>
> ii)
> Hier habe ich nun einige Schwierigkeiten:
> Es gilt nach Definition des Abschlusses:
> x [mm]\in \overline{A} \gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\cup[/mm] x [mm]\in \partial(A)[/mm]
>
> Wie kann ich nun von dieser Definition aus, zeigen dass die
> Behauptung gilt?
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>
> c) Hier sollte ich einen Tipp von euch haben...??
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> Vielen Dank für eure Hilfe!
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