matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenTopologie und GeometrieTopologie, Kompaktheit
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Topologie und Geometrie" - Topologie, Kompaktheit
Topologie, Kompaktheit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Topologie, Kompaktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 Di 15.06.2004
Autor: mori

X ist ein T2- Raum und X`= ("X" vereinigt mit "unendlich"), wobei unendlich von allen Punkten von X verschieden (also ein neuer Punkt) ist.

z.z. ist:
1) X ist genau dann ein dichter Teilraum von X`, wenn X nicht quasikompakt ist.
2) X`ist kein T2- Raum, wenn X nicht lokal kompakt ist.

ich habe mir zuerst mal die Definitionen vorgenommen:
ein top raum heißt quasikompakt, wenn jede offene überdeckung eine endl teilüberdeckung besitzt.
T2-Raum: Je 2 verschiedene Punkte besitzen disjunkte Umgebungen.
ein T2- Raum heißt lokal kompakt, wenn jeder Punkt x eine quasikompakte Umgebung besitzt.

        
Bezug
Topologie, Kompaktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 Mi 16.06.2004
Autor: Stefan

Hallo Mori!

Du musst dir erst einmal die Topologie in $X'=X [mm] \cup \{\infty\}$ [/mm] klar machen: Die offenen Mengen in $X'$ sind die offenen Mengen in $X$ und die Komplemente $X' [mm] \setminus [/mm] K$ kompakter Mengen $K [mm] \subset [/mm] X$.

Eine (offene) Umgebungsbasis von [mm] $\infty$ [/mm] wird somit durch

[mm] $\{X' \setminus K\, : \, K \subset X \, , \, K \ \mbox{kompakt}\}$ [/mm]

gegeben.

Nun zu deiner Aufgabe:

>  1) X ist genau dann ein dichter Teilraum von X`, wenn X
> nicht quasikompakt ist.

$X$ ist genau dann ein dichter Teilraum von $X'$, wenn in jeder Umgebung von [mm] $\infty$ [/mm] auch Elemente aus $X$ liegen, also -unter Beachtung der oben erläuterten Topologie- genau dann, wenn für alle kompakten Teilmenge $K$ von $X$ gilt:

(*) $X [mm] \cap [/mm] (X' [mm] \setminus [/mm] K) [mm] \ne \emptyset$. [/mm]

Offenbar ist das genau dann der Fall, wenn $X$ selber nicht kompakt ist, da (*) nur für $K=X$ nicht erfüllt sein kann.


>  2) X`ist kein T2- Raum, wenn X nicht lokal kompakt ist.

Wenn $X$ nicht lokal kompakt ist, dann gibt es einen Punkt $x [mm] \in [/mm] X$, der keine kompakte Umgebung besitzt. Es gibt also ein $x [mm] \in [/mm] X$, für das

$x [mm] \notin [/mm] K$,

also:

$x [mm] \in [/mm] X' [mm] \setminus [/mm] K$

für alle kompakten Teilmengen $K [mm] \subset [/mm] X$ gilt.

Somit liegt dieses $x$ in allen Umgebungen von [mm] $\infty$, [/mm] d.h. die beiden Punkte $x$ und [mm] $\infty$ [/mm] lassen sich nicht trennen. Daher ist $X'$ nicht $T2$.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen. Melde dich bei Fragen einfach wieder. :-)

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
Topologie, Kompaktheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Mi 16.06.2004
Autor: mori

hallo stefan.

erst einmal vielen dank für die schnelle und ausführliche antwort. ich habe sogar einen großteil verstanden!

aber noch eine frage:
ich verstehe nicht, wie man auf die konstruktion der topologie in X` kommt, wieso müssen da die komplemente von kompakten teilmengen aus X drin sein?
dann ergibt sich für mich noch die frage, weshalb in der topologie auf X` die Mengen [mm]X \setminus K[/mm]  drin sind und nicht die Mengen
X`[mm] \setminus K[/mm](oder macht das keinen großen unterschied)?
viele grüße
mori


Bezug
                        
Bezug
Topologie, Kompaktheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Mi 16.06.2004
Autor: Stefan

Hallo mori!

> erst einmal vielen dank für die schnelle und ausführliche
> antwort. ich habe sogar einen großteil verstanden!

Das freut mich! [prost]
  

> aber noch eine frage:
>  ich verstehe nicht, wie man auf die konstruktion der
> topologie in X` kommt, wieso müssen da die komplemente von
> kompakten teilmengen aus X drin sein?

Die Topologie ist nun mal so definiert. Warum? Nun, das ist die einzig "natürliche" Art und Weise um offene Umgebungen von [mm] $\infty$ [/mm] zu definieren. Wie sollten diese sonst aussehen? Es ist in erster Linie die Definition.

Mach dir doch mal klar, dass dadurch eine Topologie auf $X'$ definiert wird, d.h. weise die Axiome nach.

Beachte dabei aber folgendes:

> dann ergibt sich für mich noch die frage, weshalb in der
> topologie auf X` die Mengen [mm]X \setminus K[/mm]  drin sind und
> nicht die Mengen
> X`[mm] \setminus K[/mm](oder macht das keinen großen unterschied)?

Ich habe mich da verschrieben, entschuldige bitte!!! Ich meinte $X' [mm] \setminus [/mm] K$. Ich verbessere es jetzt sofort in meinem alten Beitrag. Schön, dass du das bemerkt hast. Das zeigt, dass du mitdenkst. [ok]

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Topologie und Geometrie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]