matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMaßtheorieTopologie auf IR
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Maßtheorie" - Topologie auf IR
Topologie auf IR < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Topologie auf IR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Fr 28.09.2007
Autor: polar_baer

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Es seien $\overline{\IR}= \IR \cup \left\{-\infty,\infty\right\}$ und $\mathcal G$ die Menge aller Intervalle der Form $(a,b), [-\infty,b), (a,\infty]$ mit $a,b \in \IR, a < b$. Zeige, dass durch
$\overline{\tau}$ := $\left\{A \subset \overline{\IR} : \exists \mathcal H \subset \mathcal G,  A = \bigcup_{B \in \mathcal H}^{}B}\right\}$ eine Topologie auf $\overline{\IR}$ definiert ist.

Hallo

Wir haben gerade mit Analysis III angefangen und unter anderem diese Aufgabe bekommen. Um zu zeigen, dass dies eine Topologie ist, muss man ja drei Sachen zeigen: 1. leere Menge und ganz \overline{\IR} müssen drin sein 2. Vereinigungen mit beliebiger Indexmenge müssen enthalten sein  3. Schnitte von abzählbaren Teilmengen müssen enthalten sein.

Nun, ich bin schon bei 1. gestolpert; ich krieg die leere Menge einfach nicht hin. Die offenen Mengen in  \overline{\Tau} sind ja alles Vereinigungen der gegebenen Intervalle und ich seh nicht wie man mit den gegebenen Intervallen eine Vereinigung hinkriegt die leer ist. An 2. und 3. mag ich noch gar nicht denken....

Danke für die Hilfe

Björn

Ach ja: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt

        
Bezug
Topologie auf IR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Fr 28.09.2007
Autor: rainerS

Hallo polar_baer!

Bedenke, dass auch die leere Menge Teilmenge von [mm]\cal G[/mm] ist. Kannst du nicht einfach für [mm]\cal H[/mm] die leere Menge nehmen?

Und dass die Vereinigung beliebig vieler Elemente aus [mm]\bar \tau[/mm] wieder ein Element von [mm]\bar \tau[/mm] ergibt, scheint mir auch nicht so schwierig. Zunächst ist die Vereinigung beliebiger offener Intervalle [mm](a,b)[/mm] offen. Die Vereinigung beliebiger [mm][-\infty,b)[/mm] (oder [mm](a,\infty][/mm]) ist wieder von der Form [mm][-\infty,b)[/mm] (oder [mm](a,\infty][/mm]). Du musst jetzt diese drei Teile zusammenfügen.

Analog kannst du für den Durchschnitt abzählbarer vieler Elemente aus [mm]\bar \tau[/mm] schließen.

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                
Bezug
Topologie auf IR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 Fr 28.09.2007
Autor: polar_baer

Ach ja, stimmt; wenn man die verschiedenen Fälle überprüft, wie die Intervalle aussehen, wenn man die drei versch. Typen in versch. Kombination vereinigt oder schneidet, folgen 2. und 3. sofort. Aber das mit der leeren Menge ist mir noch nicht ganz klar: die drei Typen von Intervalle, sind ja alle nicht leer, weil: a < b, also sind alle vom Typ (a,b) nichtleer; falls a [mm] \le [/mm] b wäre, könnte man ein Intervall vom Typ (a,a) nehmen, dann hätte man die leere Menge. Aber das ist ja nicht der Fall.

Danke und Gruss

Björn

Bezug
                        
Bezug
Topologie auf IR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Fr 28.09.2007
Autor: koepper

Hallo Björn,

die leere Menge ist in jeder Menge enthalten, also auch in G.

Wähle also H = {}. Dann ist die Vereinigung über alle Mengen, die in H enthalten sind (da ist ja keine) ebenfalls leer.

Gruß, koepper

Bezug
                                
Bezug
Topologie auf IR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 Fr 28.09.2007
Autor: polar_baer

OK, jetzt ists klar. Aber nur noch eine Frage: wenn man berücksichtigt, dass die leere Menge in jeder Menge ist (ist das einfach eine Konvention, oder kann man das beweisen?), wieso wird das bei der Definition einer Topologie extra noch erwähnt? Der 1. Punkt ist ja, dass die leere Menge und die ganze Menge, über die die Topologie gebildet wird, in der Topologie sein müssen.

Gruss

Björn

Bezug
                                        
Bezug
Topologie auf IR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Fr 28.09.2007
Autor: Hund

Hallo,

du hast Recht, die Forderung ist trivial, wird aber dennoch aufgeschrieben um zu betonen, dass die leere Menge offen ist, da sie ja in der Topologie enthalten sein muss.

Ich hoffe, es hat dir geholfen.

Gruß
Hund

Bezug
                                                
Bezug
Topologie auf IR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:39 Fr 28.09.2007
Autor: polar_baer

Danke, jetzt ist alles klar.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]