Topologien Gleichheit, Basis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:18 Mo 27.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ich will zeigen dass zwei Topologien übereinstimmen mithilfe der Basis.
Wähle hier irgendwelche Bezeichnungen:
[mm] \tau_{prod} [/mm] mit Basis S
[mm] \tau [/mm] mit Basis O |
Kann man das so machen:
A [mm] \in \tau_{prod} [/mm] -> A darstellen als vereinigung von Elementen aus Basis S. Wenn nun gilt [mm] \forall [/mm] U [mm] \in [/mm] S [mm] \exists [/mm] V [mm] \in [/mm] O : V [mm] \subseteq [/mm] U
Ist A dann nicht auch darstellbar mit Basiselementen aus O ? woraus folgen würde [mm] \tau \subseteq \tau_{prod}
[/mm]
Oder genau umgekehrt mit [mm] \forall [/mm] V [mm] \in [/mm] O [mm] \exists [/mm] U [mm] \in [/mm] S : U [mm] \subseteq [/mm] V
Da bin ich etwas verwirrt ;) Vlt. könnt ihr Licht in die Sache bringen! Im Sinne von einer Erklärung was warum stimmt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Mo 27.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Ich will zeigen dass zwei Topologien übereinstimmen
> mithilfe der Basis.
Mithilfe VON Basen, nicht DER Basen. Basen topologischer Räume sind keineswegs eindeutig.
> Wähle hier irgendwelche Bezeichnungen:
> [mm]\tau_{prod}[/mm] mit Basis S
> [mm]\tau[/mm] mit Basis O
>
>
> Kann man das so machen:
> A [mm]\in \tau_{prod}[/mm]
Das sieht doch schon einmal nach einem Anfang eines Beweises von [mm] $\tau_{prod}\subseteq\tau$ [/mm] aus.
> -> A darstellen als vereinigung von
> Elementen aus Basis S.
Ja.
> Wenn nun gilt [mm]\forall[/mm] U [mm]\in[/mm] S
> [mm]\exists[/mm] V [mm]\in[/mm] O : V [mm]\subseteq[/mm] U
Diese Bedingung ist nicht sonderlich nützlich: Es bräuchte nur [mm] $\emptyset\in [/mm] O$ zu gelten, schon wäre sie erfüllt.
Du könntest stattdessen die Bedingung nehmen, dass jedes [mm] $U\in [/mm] S$ auch [mm] $U\in\tau$ [/mm] erfüllt (also als Vereinigung von Elementen aus $O$ darstellbar ist).
Äquivalent, aber wohl einfacher nachzuweisen, ist folgende Bedingung:
Für alle [mm] $U\in [/mm] S$ und alle [mm] $x\in [/mm] U$ existiert ein [mm] $V\in [/mm] O$ mit [mm] $x\in V\subseteq [/mm] U$.
> Ist A dann nicht auch darstellbar mit Basiselementen aus
> O ?
Bei deiner Bedingung i.A. nicht, bei meiner Bedingung schon.
> woraus folgen würde [mm]\tau \subseteq \tau_{prod}[/mm]
Umgekehrt: [mm] $\tau_{prod}\subseteq\tau$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mo 27.05.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
> Für alle $ [mm] U\in [/mm] S $ und alle $ [mm] x\in [/mm] U $ existiert ein $ [mm] V\in [/mm] O $ mit $ [mm] x\in V\subseteq [/mm] O $.
Gehört da am schluss nicht statt dem O ein U?
Wieso macht das x [mm] \in [/mm] .. die Bedingung richtig?
Konkretes Bsp:
Produkttopologie auf [mm] \IR^n (\tau_{prod}) [/mm] = n dimensionale eukldisiche Topologie [mm] (\tau)
[/mm]
Basis
O:= [mm] \{ B_{\epsilon} | \epsilon >0, x \in \IR^n\}
[/mm]
S:= [mm] \{ U_1 \times .. \times U_n | U_i offen in \IR \} [/mm] = [mm] \{ U_1 \times .. \times U_n | U_1 ,.., U_n \subseteq \IR, \forall y_i \in U_i: \exists \epsilon_i: x_i \in U_i mit |x_i - y_i | < \epsilon_i , \forall i=1,..,n\}
[/mm]
-) [mm] \forall U\in [/mm] S und [mm] \forall x\in [/mm] U existiert ein [mm] V\in [/mm] O mit [mm] x\in V\subseteq [/mm] U
Bew.: U [mm] \in [/mm] S beliebig mit x [mm] \in [/mm] U beliebig, d.h. [mm] \exists \epsilon =(\epsilon_1,.., \epsilon_n) [/mm] sodass bedingung erfüllt ist für die Mengen vin S
Setze [mm] \delta [/mm] = min [mm] \{ \epsilon_1 ,.., \epsilon_n \}
[/mm]
[mm] \forall y=(y_1 [/mm] ,.., [mm] y_n [/mm] ) [mm] \in B_\sigma [/mm] (x) ZZ.: [mm] y_i \in U_i \forall [/mm] i=1,..,n (->y [mm] \in [/mm] U)
[mm] |x_i [/mm] - [mm] y_i| [/mm] = [mm] \sqrt{|x_i -y_i|^2} \le \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^2}< \delta \le \epsilon_i
[/mm]
-) [mm] \forall [/mm] V [mm] \in [/mm] O und [mm] \forall x\in [/mm] V existiert ein U [mm] \in [/mm] S mit [mm] x\in [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] V
Bew: Sei V [mm] \in [/mm] O beliebig mit x [mm] \in [/mm] O beliebig., d.h. [mm] \exists \epsilon [/mm] sd
V= [mm] B_\epsilon [/mm] (x) = [mm] \{ y \in \IR^n | \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i -y_i|^2} < \epsilon}
[/mm]
WÄhle [mm] \epsilon_i [/mm] = [mm] \frac{\epsilon}{\sqrt{n}} [/mm] für U [mm] \in [/mm] S
bleibt ZZ : [mm] \forall y=(y_1,.., y_n) \in [/mm] U -> y [mm] \in [/mm] V
<=> d.h. ZuZeigen [mm] \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i - y_i |^2 }< \delta
[/mm]
y [mm] \in [/mm] U d.h. [mm] |x_i [/mm] - [mm] y_i [/mm] | [mm] <\frac{\delta}{\sqrt{n}}
[/mm]
=> [mm] |x_i [/mm] - [mm] y_i |^2 <\frac{\delta^2}{n} [/mm] (n positiv)
=> [mm] \sum_i |x_i [/mm] - [mm] y_i |^2 [/mm] <n * [mm] \frac{\delta^2}{n}
[/mm]
=> [mm] \sqrt{ \sum_i |x_i - y_i |^2} [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Mo 27.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Für alle [mm]U\in S[/mm] und alle [mm]x\in U[/mm] existiert ein [mm]V\in O[/mm] mit
> [mm]x\in V\subseteq O [/mm].
> Gehört da am schluss nicht statt dem O ein U?
Genau. Danke für den Hinweis. Ich habe es korrigiert.
> Wieso macht das x [mm]\in[/mm] .. die Bedingung richtig?
Wir benötigen, dass $U$ als Vereinigung von Mengen aus $O$ darstellbar ist.
Gibt es nun zu jedem [mm] $x\in [/mm] U$ ein [mm] $V_x\in [/mm] O$ mit [mm] $x\in V_x\subseteq [/mm] U$, so gilt
[mm] $U=\bigcup_{x\in U}V_x$.
[/mm]
$U$ ist also tatsächlich als Vereinigung von Mengen aus $O$ darstellbar.
> Konkretes Bsp:
> Produkttopologie auf [mm]\IR^n (\tau_{prod})[/mm] = n dimensionale
> eukldisiche Topologie [mm](\tau)[/mm]
> Basis
> O:= [mm]\{ B_{\epsilon} | \epsilon >0, x \in \IR^n\}[/mm]
> S:= [mm]\{ U_1 \times .. \times U_n | U_i offen in \IR \}[/mm]
> = [mm]\{ U_1 \times .. \times U_n | U_1 ,.., U_n \subseteq \IR, \forall y_i \in U_i: \exists \epsilon_i: x_i \in U_i mit |x_i - y_i | < \epsilon_i , \forall i=1,..,n\}[/mm]
Die letzte Menge ist etwas merkwürdig aufgeschrieben: Gemeint ist wohl
[mm] $\{ U_1 \times .. \times U_n | U_1 ,.., U_n \subseteq \IR, \forall y_i \in U_i: \exists \epsilon_i: x_i \in U_i \text{ für alle }x_i\in\IR\text{ mit } |x_i - y_i | < \epsilon_i , \forall i=1,..,n\}$
[/mm]
> -) [mm]\forall U\in[/mm] S und [mm]\forall x\in[/mm] U existiert ein [mm]V\in[/mm]
> O mit [mm]x\in V\subseteq[/mm] U
> Bew.: U [mm]\in[/mm] S beliebig mit x [mm]\in[/mm] U beliebig, d.h. [mm]\exists \epsilon =(\epsilon_1,.., \epsilon_n)[/mm]
> sodass bedingung erfüllt ist für die Mengen vin S
Was meinst du mit "Bedingung erfüllt für die Mengen von S"? Für jedes [mm] $U\in [/mm] S$ und jedes [mm] $x\in [/mm] U$ (und jedes [mm] $i\in\{1,\ldots,n\}$) [/mm] gibt es ein [mm] $\epsilon_i$. [/mm] Aber es gibt i.A. kein [mm] $\epsilon_i$, [/mm] dass für alle [mm] $U\in [/mm] S$ und alle [mm] $x\in [/mm] U$ gleichzeitig der Bedingung genügt.
Sinnvollerweise wählen wir die [mm] $\epsilon_i$ [/mm] passend zum vorgegebenen [mm] $U\in [/mm] S$ und zum vorgegebenen [mm] $x\in [/mm] U$.
> Setze [mm]\delta[/mm] = min [mm]\{ \epsilon_1 ,.., \epsilon_n \}[/mm]
>
> [mm]\forall y=(y_1[/mm] ,.., [mm]y_n[/mm] ) [mm]\in B_\sigma[/mm] (x) ZZ.: [mm]y_i \in U_i \forall[/mm]
> i=1,..,n (->y [mm]\in[/mm] U)
Mit [mm] $\sigma$ [/mm] meinst du offenbar [mm] $\delta$... [/mm] 
> [mm]|x_i[/mm] - [mm]y_i|[/mm] = [mm]\sqrt{|x_i -y_i|^2} \le \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^2}< \delta \le \epsilon_i[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> -) [mm]\forall[/mm] V [mm]\in[/mm] O und [mm]\forall x\in[/mm] V existiert ein U
> [mm]\in[/mm] S mit [mm]x\in[/mm] U [mm]\subseteq[/mm] V
> Bew: Sei V [mm]\in[/mm] O beliebig mit x [mm]\in[/mm] O beliebig., d.h.
> [mm]\exists \epsilon[/mm] sd
> V= [mm]B_\epsilon[/mm] (x) = [mm]\{ y \in \IR^n | \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i -y_i|^2} < \epsilon}[/mm]
Hast du ein Argument, warum du [mm] $V=B_\epsilon(x)$ [/mm] anstelle von [mm] $V=B_\epsilon(x')$ [/mm] für ein [mm] $x'\in\IR^n$ [/mm] annehmen darfst?
> WÄhle [mm]\epsilon_i[/mm] = [mm]\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}[/mm] für U [mm]\in[/mm] S
Welches [mm] $U\in [/mm] S$ betrachtest du denn?
Vermutlich
[mm] $U=(x_1-\frac{\epsilon}{\sqrt{n}},x_1+\frac{\epsilon}{\sqrt{n}})\times\ldots\times(x_n-\frac{\epsilon}{\sqrt{n}},x_n+\frac{\epsilon}{\sqrt{n}})$.
[/mm]
> bleibt ZZ : [mm]\forall y=(y_1,.., y_n) \in[/mm] U -> y [mm]\in[/mm] V
> <=> d.h. ZuZeigen [mm]\sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i - y_i |^2 }< \delta[/mm]
Mit [mm] $\delta$ [/mm] ist hier offenbar [mm] $\epsilon$ [/mm] gemeint...
> y [mm]\in[/mm] U d.h. [mm]|x_i[/mm] - [mm]y_i[/mm] | [mm]<\frac{\delta}{\sqrt{n}}[/mm]
> => [mm]|x_i[/mm] - [mm]y_i |^2 <\frac{\delta^2}{n}[/mm] (n positiv)
> => [mm]\sum_i |x_i[/mm] - [mm]y_i |^2[/mm] <n * [mm]\frac{\delta^2}{n}[/mm]
> => [mm]\sqrt{ \sum_i |x_i - y_i |^2}[/mm] < [mm]\delta[/mm]
Das passt soweit!
Zu der noch bestehenden Lücke der unbegründeten Annahme von [mm] $V=B_\epsilon(x)$:
[/mm]
Bekannt ist ja sicherlich, dass zu jeder offenen Menge $V$ in einem metrischen Raum und jedem Punkt [mm] $x\in [/mm] V$ ein [mm] $\epsilon'>0$ [/mm] existiert mit [mm] $B_{\epsilon'}(x)\subseteq [/mm] V$.
Dann kannst du mit [mm] $B_{\epsilon'}(x)$ [/mm] und [mm] $\epsilon'$ [/mm] anstelle von $V$ und [mm] $\epsilon$ [/mm] argumentieren (oder auch ohne Einschränkung [mm] $V=B_\epsilon(x)$ [/mm] annehmen): Denn wenn du ein [mm] $U\in [/mm] S$ mit [mm] $x\in U\subseteq B_{\epsilon'}(x)$ [/mm] findest, erfüllt dieses $U$ insbesondere [mm] $U\subseteq [/mm] V$.
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