Topologische Mannigfaltigkeit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Fr 23.04.2010 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | | Zeige dass die Menge [mm] $M=\left \{ (x,y,z)\in \mathbb R^3\ |\ x^2=y^2+z^2 \right \} \subset \mathbb R^3$ [/mm] (mit Relativtopologie) keine topologische Mannigfaltigkeit ist. |
Hallo,
ich weiß nicht so recht, wie man zeigt, dass eine bestimmte Menge keine topologische Mannigfaltigkeit ist. Also zuerst hab ich herausgefunden dass die Menge $M$ ein sogenannter "Doppelkegel" ist. Eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ ist bei uns als zweitabzählbarer Hausdorff-Raum definiert, der lokal zum euklidischen [mm] $\mathbb R^n$ [/mm] homöomorph ist.
Ich muss also bei meiner Aufgabe zeigen dass es (mind.) einen Punkt $p [mm] \in [/mm] M$ gibt, so dass keine Abb. $f:U [mm] \to [/mm] V$ existiert (mit $f, [mm] f^{-1}$ [/mm] sind bijektiv und stetig), wobei hier $U$ eine offene Umgebung von $p$ ist und $V [mm] \subset \mathbb R^3$. [/mm] Also das heisst: Ich muss letztlich zeigen, dass es um mind. einen Punkt keine Karte gibt. Der fragliche Punkt müsste der Nullpunkt $(0,0,0)$ sein, weil an diesem Punkt die beiden Kegel spitz aufeinander zulaufen und das dann nicht mehr "flach" gemacht werden kann.
Das Problem ist natürlich, wie man das nun sauber mathematisch aufschreiben soll... Deshalb bräuchte ich von euch einen Tipp.
Ich glaube, dass ich den Satz vom regulären Wert nicht anwenden darf, weil es ja bei meiner Aufgabe um topologische Mannigfaltigkeiten geht.
Ich würde mich sehr auf Antworten freuen!
Viele Grüße
Kevin
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Fr 23.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Das Problem ist natürlich, wie man das nun sauber
> mathematisch aufschreiben soll... Deshalb bräuchte ich von
> euch einen Tipp.
Nimm an, es gäbe einen Homöo von einem Ball auf eine offene Umgebung der 0. Dann schmeiße 0 im Bild und das Urbild dazu heraus. Das ist immer noch ein Homöo. Welche topologischen Eigenschaften hat dann aber der eine Raum, den der andere nicht hat? (Beachte, dass jede Umgebung von 0 beide Kegel schneidet [warum?]).
> Ich glaube, dass ich den Satz vom regulären Wert nicht
> anwenden darf, weil es ja bei meiner Aufgabe um
> topologische Mannigfaltigkeiten geht.
1. Ja, es sind keine diff.baren.
2. Ist der Satz ein Posiitv-Resultat - du müsstest sonst zeigen, dass es um 0 keine Funktion gibt, so dass der Raum lokal als Urbild eines regulären Punktes darstellbar ist - das macht eigentlich keiner (alle diff.baren Funktionen anschauen ist - viel!).
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Fr 23.04.2010 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
der Unterschied müsste dann in der Hausdorffsch-Eigenschaft liegen. Jede Umgebung um $0 [mm] \in [/mm] M$ enthält immer noch andere Punkte [mm] $p\in [/mm] M,\ [mm] p\neq [/mm] 0$, während die Null im Bildbereich isoliert liegt. Aber eine topologische Mannigfaltigkeit muss hausdorffsch sein gemäß der Definition.
Ist es das?
Gruß,
Kevin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Fr 23.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hallo,
> der Unterschied müsste dann in der
> Hausdorffsch-Eigenschaft liegen. Jede Umgebung um [mm]0 \in M[/mm]
> enthält immer noch andere Punkte [mm]p\in M,\ p\neq 0[/mm],
> während die Null im Bildbereich isoliert liegt. Aber eine
> topologische Mannigfaltigkeit muss hausdorffsch sein
> gemäß der Definition.
> Ist es das?
Nein, natürlich ist die Teilmengentopologie immer noch Hausdorffsch. Die 0 liegt im Bildbereich auch nicht isoliert.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 23.04.2010 | | Autor: | kevin-m. |
Hi,
jetzt ist mir etwas anderes eingefallen:
Wenn eine Umgebung U um 0 [mm] $\in$ [/mm] M durch den Homöomorphismus [mm] $\phi$ [/mm] auf die offene Kreisscheibe V im [mm] $\mathbb R^2$ [/mm] abgebildet wird, dann ist [mm] $V\setminus\{\phi(0)\}$ [/mm] zusammenhängend, aber [mm] $U\setminus{0} [/mm] ist nicht zusammenhängend. Daraus würde dann folgen dass [mm] $\phi$ [/mm] gar kein Homöomorphismus sein kann.
Ich hoffe dass das jetzt nicht total abwegig war :-D
Gruß,
Kevin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Fr 23.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich hoffe dass das jetzt nicht total abwegig war :-D
Bingo. Ich hoffe, dass war nicht nur geraten.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Fr 23.04.2010 | | Autor: | kevin-m. |
Ein Problem hab ich aber noch dabei: Wie soll ich denn mathematisch korrekt begründen (so dass es auch der Übungsleiter glaubt), dass der Kegel ohne den Nullpunkt nicht zusammenhängend ist? Ich hab mir das nämlich geometrisch-anschaulich überlegt und kann das nicht so recht mathematisch präzisieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Fr 23.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ein Problem hab ich aber noch dabei: Wie soll ich denn
> mathematisch korrekt begründen (so dass es auch der
> Übungsleiter glaubt), dass der Kegel ohne den Nullpunkt
> nicht zusammenhängend ist? Ich hab mir das nämlich
> geometrisch-anschaulich überlegt und kann das nicht so
> recht mathematisch präzisieren.
Worauf fussen denn deine Überlegungen genau? MAch mal einen Ansatz/Beweisversuch. Dann helfe ich gerne weiter.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Sa 24.04.2010 | | Autor: | kevin-m. |
Um zu zeigen dass [mm] $M\setminus \{0\}$ [/mm] nicht zusammenhängend ist, muss man unter anderem auch zeigen dass die Menge [mm] $M'=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\ |\ x^2=y^2+z^2,\ x>0 \} [/mm] $ offen in $M$ ist. Ich muss also zeigen dass jeder Punkt [mm] $p\in [/mm] M'$ eine Umgebung $U$ besitzt, die ganz in $M'$ liegt. Wenn man das mit der Def. nachrechnet ist es umständlich. Deshalb würde ich es auf den Fall in [mm] $\mathbb [/mm] R$ zurückführen wollen. Die Menge [mm] $\left \{ x\in\mathbb R \ | \ x>0 \right \} [/mm] $ z. B. ist offen in [mm] $\mathbb [/mm] R$ weil ihr Komplement [mm] $(-\infty, [/mm] 0]$ abgeschlossen ist. Dann darf ich ja eigentlich schlussfolgern dass auch $ [mm] \{(x,y,z)\in \mathbb R^3\ | x\in(-\infty, 0] \} [/mm] $ abgeschlossen ist. Aber es ja noch nicht klar, dass damit auch $M [mm] \setminus M'=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\ |\ x^2=y^2+z^2,\ x\in(-\infty, 0] \}$ [/mm] abgeschlossen sein muss.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Sa 24.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Um zu zeigen dass [mm]M\setminus \{0\}[/mm] nicht zusammenhängend
> ist, muss man unter anderem auch zeigen dass die Menge
> [mm]M'=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3\ |\ x^2=y^2+z^2,\ x>0 \}[/mm] offen
> in [mm]M[/mm] ist.
Das ist klar nach der Definition der Relativtopologie (M' ist Schnitt von M mit einer offenen Menge). Ich weiß nicht, was du da rumturnst. Dann mach es mit der anderen Ebene und du hast zwei Zush.komponenten ...
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Sa 24.04.2010 | | Autor: | kevin-m. |
Hi.
Okay. Dann ist mir nun alles klar - hab das mit der Relativtopologie übersehen. Dankeschön für deine Antworten! Du hast mir echt weitergeholfen :-D
Viele Grüße
Kevin
|
|
|
|
