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Total Variation, Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Di 03.11.2020
Autor: Jellal

Guten Abend,

kann mir wer einen Tipp geben?
Sei [mm] (X,\Sigma,\mu) [/mm] ein Maßraum und f eine integrable Funktion.
Sei [mm] \nu(E)=\integral_{E}^{}{f(x) d\mu(x)} [/mm] für alle [mm] E\in\Sigma. [/mm]

Zu zeigen: [mm] |\nu|(E)=\integral_{E}^{}{|f(x)| d\mu(x)}, [/mm] wobei die totale Variation [mm] |\nu| [/mm] gegeben ist durch [mm] |\nu|(E)=sup\summe_{k}^{}|\nu(E_{k})|, [/mm] wobei das Supremum über alle Partitionen [mm] (E_{k})_{k\in \IN} [/mm] von E geht.

Mit [mm] |\integral_{E_{k}}^{}{f(x) d\mu(x)}|\le \integral_{E_{k}}^{}{|f(x)| d\mu(x)} [/mm] konnte ich die eine Richtung leicht zeigen:
[mm] |\nu|(E)\le \integral_{E_{k}}^{}{|f(x)| d\mu(x)}. [/mm]

Bei der anderen Richtung, komme ich überhaupt nicht weiter.
Benutzt man die Dreiecksungleichung in der Definition von [mm] |\nu|, [/mm] so erhält man nur [mm] |\nu(E)|\le|\nu|(E). [/mm]

Ich weiß noch, dass [mm] |\nu|(E) [/mm] auch ein Maß ist, also abzählbar additiv:
[mm] |\nu|(E)=\summe_{k}^{}|\nu|(E_{k})=\summe_{k}^{} [/mm] sup [mm] \summe_{j}^{}|\nu(E_{k,j})| [/mm] mit [mm] (E_{k,j})_{j\in\IN} [/mm] als Partition der [mm] E_{k}. [/mm]
Mit der Dreiecksungleichung und der abzählbaren Additivität von [mm] \nu [/mm] folgt dann [mm] |\nu|(E)\ge \summe_{k}^{}|\nu(E_{k})|=\summe_{k}^{}|\integral_{E_{k}}^{}{f(x) d\mu(x)}| [/mm] (i).
Das allein bringt noch nichts.

Weiter habe ich die Definition des Integrals von nicht-negativen Funktionen benutzt:
[mm] \integral_{E}^{}{|f(x)| d\mu(x)}=sup_{S}\integral_{E}^{}{S(x) d\mu(x)}, [/mm] wobei das Supremum über alle simplen Funktionen mit [mm] S(x)\le [/mm] |f(x)| geht.
Dann kann ich zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] eine simple Funktion finden, welche die Werte [mm] a_{k} [/mm] auf einer Partition [mm] (E_{k})_{k\in \IN} [/mm] annimmt, sodass

[mm] \integral_{E}^{}{|f(x)| d\mu(x)} \le \integral_{E}^{}{S(x) d\mu(x)}+ \epsilon [/mm]
[mm] =\summe_{k}^{}a_{k}\mu(E_{k}) [/mm] + [mm] \epsilon [/mm]
[mm] =\summe_{k}^{}|a_{k}\mu(E_{k})| [/mm] + [mm] \epsilon [/mm]
= [mm] \summe_{k}^{} |\integral_{E_{k}}^{}{S(x) d\mu(x)}| [/mm] + [mm] \epsilon, [/mm]
wobei die [mm] a_{k} [/mm] o.E. > 0 sind.

Kann ich den letzten Term nun irgendwie nach oben gegen das Integral in (i) abschätzen?

vG.

        
Bezug
Total Variation, Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Di 03.11.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Mit [mm]|\integral_{E_{k}}^{}{f(x) d\mu(x)}|\le \integral_{E_{k}}^{}{|f(x)| d\mu(x)}[/mm]
> konnte ich die eine Richtung leicht zeigen:
>  [mm]|\nu|(E)\le \integral_{E_{k}}^{}{|f(x)| d\mu(x)}.[/mm]
>  
> Bei der anderen Richtung, komme ich überhaupt nicht weiter.

Tipp: Sei $A = [mm] \{f \ge 0\}$, [/mm] dann ist [mm] $E_1 [/mm] = E [mm] \cap [/mm] A, [mm] E_2 [/mm] = E [mm] \cap A^c$ [/mm] eine Partition von $E$.
Kommst du damit alleine weiter?

Gruß,
Gono


Bezug
                
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Total Variation, Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Di 03.11.2020
Autor: Jellal

Hallo Gono,

gute Idee, aber hast du berücksichtigt, dass f auch komplex-wertig sein kann?

[mm] |\nu|(E) \ge |\nu(E_{1})| [/mm] + [mm] |\nu(E_{2})| [/mm] = [mm] |\integral_{E_{1}}^{}{f(x) d\mu(x)}| [/mm] + [mm] |\integral_{E_{2}}^{}{f(x) d\mu(x)}| [/mm]
[mm] =\integral_{E_{1}}^{}{|f(x)| d\mu(x)} [/mm] + [mm] |\integral_{E_{2}}^{}{f(x) d\mu(x)}| [/mm]

Wenn f nach [mm] \IR [/mm] abbildet, ist f(x)<0 auf [mm] E_{2}, [/mm] dann kann man das zweite Integral schreiben als [mm] |-\integral_{E_{2}}^{}{|f(x)| d\mu(x)}|=\integral_{E_{2}}^{}{|f(x)| d\mu(x)} [/mm] und man ist fertig.

Aber wenn es komplexwertig ist? Mir fällt noch ein, dass der Betrag des komplexen Integrals unabhängig von der Phase ist... Aber das hilft auch nicht.


Edit: Oder doch?
Wenn ich schreibe
[mm] \nu(E)= \integral_{E}^{}{f(x) d\mu(x)} [/mm]
= [mm] \integral_{E}^{}{u(x) d\mu(x)} [/mm] + i [mm] \integral_{E}^{}{v(x) d\mu(x)} [/mm]
mit Real- und Imaginärteil von f. Dann kann ich das erste E aufspalten in positiven und negativen Realteil und das zweite E aufspalten in positiven und negativen Imaginärteil. Irgendwie so...

Bezug
                        
Bezug
Total Variation, Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:46 Mi 04.11.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,
  

> gute Idee, aber hast du berücksichtigt, dass f auch komplex-wertig sein kann?

nein, muss ich auch nicht, weil das völlig untypisch ist…

Bevor ich dann hier weitere Lösungen tippe, die du nicht akzeptierst:
Wie habt ihr überhaupt [mm] $\integral_{E}^{}{f(x) d\mu(x)} [/mm] $ für komplexwertige $f$ definiert?

Und was habt ihr bereits für Eigenschaften der totalen Variation gezeigt?

edit: Ein Weg, der unabhängig von eurer Definition funktionieren dürfte:
1.) Für einfache Funktionen lässt sich die Aufgabe leicht zeigen.
2.) Ist $f$ integrierbar, so gibt es eine Folge einfacher Funktionen [mm] $S_n$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to\infty} \int_X [/mm] |f - [mm] S_n| d\mu [/mm] = 0$

Sei nun n groß genug, dass [mm] $\int_X [/mm] |f - [mm] S_n| d\mu \le \varepsilon$ [/mm] und [mm] $\nu_n(E) [/mm] = [mm] \integral_{E}^{}{S_n d\mu(x)} [/mm] $

Dann ist (zeige das): $|v| [mm] \in |v_n| \pm \varepsilon$ [/mm]

Und damit: [mm] $|\nu|(E) [/mm] = [mm] |v_n|(E) \pm \varepsilon [/mm] = [mm] \integral_{E}^{}{|S_n| d\mu(x)} \pm \varepsilon$ [/mm]

Grenzwertbildung liefert das Gewünschte.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
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Total Variation, Abschätzung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:03 Sa 07.11.2020
Autor: Jellal


> Hiho,
>    
> > gute Idee, aber hast du berücksichtigt, dass f auch
> komplex-wertig sein kann?
>  nein, muss ich auch nicht, weil das völlig untypisch
> ist…


> Bevor ich dann hier weitere Lösungen tippe, die du nicht
> akzeptierst:
> Wie habt ihr überhaupt [mm]\integral_{E}^{}{f(x) d\mu(x)}[/mm] für
> komplexwertige [mm]f[/mm] definiert?
>
> Und was habt ihr bereits für Eigenschaften der totalen
> Variation gezeigt?

Ist f komplex-wertig mit f(x) = u(x) + iv(x) mit Real- und Imaginärteil u und v, so gilt [mm] \integral_{}^{}{f(x) d\mu(x)}=\integral_{}^{}{u(x) d\mu(x)} [/mm] + [mm] i\integral_{}^{}{v(x) d\mu(x)}. [/mm]

Wir haben gezeigt, dass die totale Variation selbst ein Maß ist, und das [mm] |\nu|(E)\ge |\nu(E)|. [/mm]

> edit: Ein Weg, der unabhängig von eurer Definition
> funktionieren dürfte:
>  1.) Für einfache Funktionen lässt sich die Aufgabe
> leicht zeigen.
>  2.) Ist [mm]f[/mm] integrierbar, so gibt es eine Folge einfacher
> Funktionen [mm]S_n[/mm] mit [mm]\lim_{n\to\infty} \int_X |f - S_n| d\mu = 0[/mm]
>
> Sei nun n groß genug, dass [mm]\int_X |f - S_n| d\mu \le \varepsilon[/mm]
> und [mm]\nu_n(E) = \integral_{E}^{}{S_n d\mu(x)}[/mm]
>  
> Dann ist (zeige das): [mm]|v| \in |v_n| \pm \varepsilon[/mm]
>  
> Und damit: [mm]|\nu|(E) = |v_n|(E) \pm \varepsilon = \integral_{E}^{}{|S_n| d\mu(x)} \pm \varepsilon[/mm]
>  
> Grenzwertbildung liefert das Gewünschte.
>  
> Gruß,
>  Gono

Ich scheitere schon an 1).
Sei f eine einfache Funktion mit [mm] f(x)=\summe_{k=1}^{n}a_{k}I_{E_{k}}(x) [/mm] mit [mm] I_{A} [/mm] als Indikatorfunktion der Menge A und [mm] a_{k}\in \IC. [/mm]

Dann ist [mm] |\nu|(E) [/mm] = sup [mm] \summe_{j=1}^{}|\integral_{E_{j}}^{}{\summe_{k=1}^{n}a_{k}I_{E_{k}}(x)d\mu(x)}| [/mm]
= sup [mm] \summe_{j=1}^{} |\summe_{k=1}^{n}(\integral_{E_{j}}^{}{u_{k}I_{E_{j}}(x)d\mu(x)} [/mm] + [mm] i\integral_{E_{j}}^{}{v_{k}I_{E_{j}}(x)d\mu(x)})| [/mm]
= sup [mm] \summe_{j=1}^{} |\summe_{k=1}^{n} a_{k}\mu(E_{j})| [/mm]

Nun habe ich das gleiche Problem mit dem Betrag, den ich gerne in die Summe ziehen würde...

Bezug
                                        
Bezug
Total Variation, Abschätzung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:22 Di 10.11.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

nur kurz als Info: Bin bis nächste Woche recht eingespannt und kann daher aktuell nicht drauf antworten.
Aber vllt. findest sich ja jemand anderes bis dahin…

Gruß,
Gono

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Bezug
Total Variation, Abschätzung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 10.11.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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