Total differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Muss folgende Aufgabe lösen:
Zeige, dass die Funktion
f: [mm] \IR^2 \to \IR, f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy*(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0)) \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
in [mm] \IR^2 [/mm] stetig differenzierbar und in (0,0) zweimal partiell differenzierbar ist, aber
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0)\not=\bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,0)
[/mm]
Ist f in (0,0) total differenzierbar?
Konnte alles zeigen, bis auf die totale Differenzierbarkeit in (0,0). Hier muss ich doch schauen ob der limes = 0 ist:
[mm] \limes_{(h_1,h_2)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{f(h_1,h_2)-f(0,0)-(0,0)*\Vektor{h_1 \\ h_2}}{||(h_1,h_2)||} [/mm] = [mm] \limes_{(h_1,h_2)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{h_1h_2(h_1^2-h_2^2)}{(h_1^2+h_2^2)} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(h_1^2+h_2^2)^(\bruch{1}{2})}=\limes_{(h_1,h_2)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{h_1h_2(h_1^2-h_2^2))}{(h_1^2+h_2^2)^{\bruch{3}{2}}}=....
[/mm]
Nun komme ich hier nicht mehr weiter...kann mir jemand helfen?
Oder gibt es eine andere Möglichkeit dies zu lösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 So 06.04.2014 | | Autor: | chrisno |
Hast Du nicht einen Satz in dem partielle und totale Differenzierbarkeit vorkommen? Dann geht es ganz schnell.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 So 06.04.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo chrisno!
Habe gerade noch einmal in den Vorlesungsunterlagen nachgeschaut und bin tatsächlich fündig geworden.
Satz:
Ist f partiell differenzierbar und sind alle partiellen Ableitungen stetig in [mm] x_0, [/mm] so ist f (total) differenzierbar in [mm] x_0. [/mm]
Dies habe ich ja im obigen Teil der Aufgabe bereits gezeigt und muss dich nur noch hinschreiben!
Super, vielen Dank!!
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