Total isotrope Teilräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Do 03.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo im Matheraum,
also bei der Aufgabe habe ich schon "angefangen", aber ich habe das Gefühl ich bin falsch... oder lieber etwas ratlos im weiteren Vorgehen...
Davon abgesehen: Gibt es denn noch einen anderen Begriff für "total isotrop"? Der ist nämlich im Internet nicht so verbreitet und es ist irgendwie besser, wenn man die Sachen noch mal nachlesen kann - außer im eigenen Skript...
Die Aufgabe ist:
Man bestimme alle maximalen total isotropen Teilräume (s.u) von
[mm] V:= F^4_2 [/mm], wenn V versehen ist mit einer Bilinearform [mm] \beta, [/mm] deren Strukturmatrix (bzgl. der kanonischen Basis) folgende Gestalt hat:
[mm] B^\beta= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} [/mm]
Das ist erstmal die Aufgabe.
Und jetzt der Anfang der "Möchtegernlösung" :
Für die maximalen total isotropen Teilräume kann die Dimension maximal 2 sein. Ich habe das mit dem "Wittindex" nicht so ganz verstanden, besser gesagt kann ich mit dem Begriff rein überhaupt nichts angangen und deshalb auch nichts mit:
Wittindex(V) = dim (V) <-> V ist total isotrop.
Braucht man das denn bei der Aufgabe??? Übrigens heißt es:
Ein total Isotroper Teilraum W von V (und V ist doch bei meiner Aufgabe die Matrix [mm] B^\beta, [/mm] oder?) ist ein maximal total isotroper Teilraum von V genau dann wenn gilt:
dim(W) = Max ({dim(U) / U ist total isotroper Teilraum})
Also gilt bei mir dim(W)=4 = Max({dim(U)})
ODER???
Ich muss jetzt also alle "regulären" (sprich total isotropen???) Teilräume von [mm] F^4_2 [/mm] finden. Und [mm] F_2 [/mm] = {0,1}.
Muss ich jetzt mit den Untervektorraumkriterien arbeiten??? Und alle heraussuchen mit der Dim =2 ?
Vielleicht ist das ja ein unnötiges Vorgehen, dass ich da angefangen habe...
Und eigentlich dachte ich auch, die Aufgabe sei gar nicht schwer - naja, man täuscht sich eben manchmal :-(
Falls jemand einen Tipp hat wie ich weitermachen kann...
Vielen Dank schon mal, Cathrine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:02 So 06.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Cathrine!
> also bei der Aufgabe habe ich schon "angefangen", aber ich
> habe das Gefühl ich bin falsch... oder lieber etwas ratlos
> im weiteren Vorgehen...
>
> Davon abgesehen: Gibt es denn noch einen anderen Begriff
> für "total isotrop"?
Ist mir keiner bekannt...
> Der ist nämlich im Internet nicht so
> verbreitet und es ist irgendwie besser, wenn man die Sachen
> noch mal nachlesen kann - außer im eigenen Skript...
Ja, es gehört nicht notwendigerweise zum Standardstoff einer LA-Anfängervorlesung.
> Die Aufgabe ist:
>
> Man bestimme alle maximalen total isotropen Teilräume (s.u)
> von
> [mm]V:= F^4_2 [/mm], wenn V versehen ist mit einer Bilinearform
> [mm] \beta, [/mm] deren Strukturmatrix (bzgl. der kanonischen Basis)
> folgende Gestalt hat:
>
> [mm]B^\beta= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Das ist erstmal die Aufgabe.
>
> Und jetzt der Anfang der "Möchtegernlösung" :
>
> Für die maximalen total isotropen Teilräume kann die
> Dimension maximal 2 sein.
Wie kommst du darauf? Die Aussage
$Wittindex(V) [mm] \le \frac{1}{2} [/mm] V$
für einen regulären Raum [mm] $(V,\beta)$ [/mm] gilt i.A. nur dann, wenn für den Körper [mm] $\IK$ [/mm] des [mm] $\IK$-Vektorraums [/mm] $V$ gilt:
[mm] $char(\IK) \ne [/mm] 2$.
Bei uns gilt aber:
[mm] $char(\IF_2) [/mm] = 2$.
Genauer gesagt ist der Wittindex im Falle $char(K)=2$ gar nicht definiert. So darfst du hier also nicht argumentieren.
> Ich habe das mit dem "Wittindex"
> nicht so ganz verstanden, besser gesagt kann ich mit dem
> Begriff rein überhaupt nichts angangen und deshalb auch
> nichts mit:
>
> Wittindex(V) = dim (V) <-> V ist total isotrop.
>
> Braucht man das denn bei der Aufgabe???
Wie gesagt: Der Wittindex ist in diesem Fall gar nicht definiert. Aber auch sonst hätte man mit diesem Satz rein gar nichts anfangen können.
> Übrigens heißt
> es:
> Ein total Isotroper Teilraum W von V (und V ist doch bei
> meiner Aufgabe die Matrix [mm] B^\beta, [/mm] oder?)
Ein Vektorraum kann keine einzelne Matrix sein. Oder was meintest du hier?
> ist ein maximal
> total isotroper Teilraum von V genau dann wenn gilt:
>
> dim(W) = Max ({dim(U) / U ist total isotroper Teilraum})
>
> Also gilt bei mir dim(W)=4 = Max({dim(U)})
> ODER???
Das wäre doch ein Widerspruch zu deiner Aussage oben, nach der $dim(W) [mm] \le [/mm] 2$ gilt. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Ich muss jetzt also alle "regulären" (sprich total
> isotropen???) Teilräume von [mm] F^4_2 [/mm] finden. Und [mm] F_2 [/mm] = {0,1}.
Nein, das eine ("regulär") hat mit dem anderen ("total isotrop") hier nichts zu tun.
> Muss ich jetzt mit den Untervektorraumkriterien arbeiten???
Auch die sind hier völlig überflüssig.
> Und alle heraussuchen mit der Dim =2 ?
Das sieht schon besser aus. Aber, wie gesagt, wir können den obigen Satz nicht anwenden. Noch ist nicht klar, dass die Dimension eines maximalen total isotropen Teilraumes gleich $2$ ist. Sie könnte, rein theoretisch, auch gleich $3$ sein.
> Vielleicht ist das ja ein unnötiges Vorgehen, dass ich da
> angefangen habe...
> Und eigentlich dachte ich auch, die Aufgabe sei gar nicht
> schwer - naja, man täuscht sich eben manchmal :-(
>
> Falls jemand einen Tipp hat wie ich weitermachen kann...
Wir sollten mal ganz von vorne beginnen.
Denn noch bist du -nimm es mir bitte nicht übel- weit davon entfernt die Aufgabe zu verstehen. Aber wir kriegen das schon hin. 
Wir suchen zunächst einmal alle total isotropen Unterräume von [mm] $(V,\beta)$, [/mm] also alle Unterräume $U$ von $V$ mit
[mm] $\beta(u,u') [/mm] = 0$
für alle $u,u' [mm] \in [/mm] U$.
Anschließend wählen wir dann die maximalen davon aus.
Klar ist, dass in einem solchen Unterraum alle Elemente isotrop sein müssen, denn die obigen Bedingung muss ja auch für $u=u'$ gelten.
Daher suchen wir uns zunächst einmal alle $v [mm] \in V=\IF_2^4$ [/mm] mit
[mm] $\beta(v,v)=0$.
[/mm]
Das Gute ist: So viele Elemente gibt es ja in [mm] $V=\IF_2^4$ [/mm] gar nicht. Genauer gesagt gibt es nur [mm] $2^4 [/mm] = 16$ Stück, die wir ja mal alle hinschreiben können:
[mm] $v_1= \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_4 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_5 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_6 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_7 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_8 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_9 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_{10} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_{11} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_{12} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_{13} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_{14} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_{15} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $v_{16} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$
[/mm]
So, für alle diese Vektoren [mm] $v_i$ [/mm] überprüfen wir nun, ob
[mm] $\beta(v_i,v_i) [/mm] = [mm] v_i^T B_{\beta} v_i [/mm] = 0$
gilt.
[mm] $\green{v_1}$ [/mm] : ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (trivial)
[mm] $\red{v_2} [/mm] : [mm] \beta(v_2,v_2) [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 0$
[mm] $\red{v_3} [/mm] : [mm] \beta(v_3,v_3) [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 0$
[mm] $\green{v_4} [/mm] : [mm] \beta(v_4,v_4) [/mm] = 0$
[mm] $\green{v_5} [/mm] : [mm] \beta(v_5,v_5) [/mm] = 0$
[mm] $\green{v_6} [/mm] : [mm] \beta(v_6,v_6) [/mm] = 0$
[mm] $\red{v_7} [/mm] : [mm] \beta(v_7,v_7) [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 0$
[mm] $\red{v_8} [/mm] : [mm] \beta(v_8,v_8) [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 0$
[mm] $\red{v_9} [/mm] : [mm] \beta(v_9,v_9) [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 0$
[mm] $\red{v_{10}} [/mm] : [mm] \beta(v_{10},v_{10}) [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 0$
[mm] $\green{v_{11}} [/mm] : [mm] \beta(v_{11},v_{11}) [/mm] = 0$
[mm] $\green{v_{12}} [/mm] : [mm] \beta(v_{12},v_{12}) [/mm] = 0$
[mm] $\red{v_{13}} [/mm] : [mm] \beta(v_{13},v_{13}) [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 0$
[mm] $\green{v_{14}} [/mm] : [mm] \beta(v_{14},v_{14}) [/mm] = 0$
[mm] $\red{v_{15}} [/mm] : [mm] \beta(v_{15},v_{15}) [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 0$
[mm] $\green{v_{16}} [/mm] : [mm] \beta(v_{16},v_{16}) [/mm] = 0$
Es scheiden also diejenigen Unterräume aus, die
[mm] $v_2$, $v_3$, $v_7$, $v_8$, $v_9$, $v_{10}$, $v_{13}$, $v_{15}$
[/mm]
enthalten.
Jeder Unterraum enthält [mm] $v_1$.
[/mm]
Daher müssen wir uns jetzt überlegen:
Für welche [mm] $v_i, v_j \in \{v_4, v_5, v_6, v_{11}, v_{12}, v_{14}, v_{16}\}$, $v_i \ne v_j$, [/mm] gilt:
[mm] $\beta(v_i,v_j)=0$.
[/mm]
Gut, probieren wir es aus:
[mm] $\red{\beta(v_4,v_5) = 1 \ne 0}$
[/mm]
[mm] $\green{\beta(v_4,v_6) = 0}$
[/mm]
[mm] $\red{\beta(v_4,v_{11}) = 1 \ne 0}$
[/mm]
[mm] $\green{\beta(v_4,v_{12}) = 0}$
[/mm]
[mm] $\red{\beta(v_4,v_{14}) = 1 \ne 0}$
[/mm]
[mm] $\red{\beta(v_4,v_{16}) = 1 \ne 0}$
[/mm]
[mm] $\green{\beta(v_5,v_6) = 0}$
[/mm]
[mm] $\red{\beta(v_5,v_{11}) = 1 \ne 0}$
[/mm]
[mm] $\red{\beta(v_5,v_{12}) = 1 \ne 0}$
[/mm]
[mm] $\green{\beta(v_5,v_{14}) = 0}$
[/mm]
[mm] $\red{\beta(v_5,v_{16}) = 1 \ne 0}$
[/mm]
[mm] $\green{\beta(v_6,v_{11}) = 0}$
[/mm]
[mm] $\green{\beta(v_6,v_{12}) = 0}$
[/mm]
[mm] $\green{\beta(v_6,v_{14}) = 0}$
[/mm]
[mm] $\green{\beta(v_6,v_{16}) = 0}$
[/mm]
[mm] $\red{\beta(v_{11},v_{12}) = 1 \ne 0}$
[/mm]
[mm] $\red{\beta(v_{11},v_{14}) = 1 \ne 0}$
[/mm]
[mm] $\green{\beta(v_{11},v_{16}) = 0}$
[/mm]
[mm] $\red{\beta(v_{12},v_{14}) = 1 \ne 0}$
[/mm]
[mm] $\red{\beta(v_{12},v_{16}) = 1 \ne 0}$
[/mm]
[mm] $\red{\beta(v_{14},v_{16}) = 1 \ne 0}$
[/mm]
Man sieht, dass folgende Unterräume maximal isotrope Unterräume von [mm] $\blue{V}$ [/mm] sind:
[mm] $\blue{U_1 = Span(v_4,v_6) = Span(v_4,v_{12}) = Span(v_6,v_{12})}$,
[/mm]
[mm] $\blue{U_2 = Span(v_6,v_{11}) = Span(v_6,v_{16}) = Span(v_{11},v_{16})}$,
[/mm]
[mm] $\blue{U_3 = Span(v_5,v_6) = Span(v_5,v_{14}) = Span(v_6,v_{14})}$.
[/mm]
Damit gilt hier doch für jeden maximal isotropne Unterraum $U$ von $V$:
[mm] $\dim(U) [/mm] = 2 = [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] 4 = [mm] \frac{1}{2}\, \dim(V)$,
[/mm]
aber man konnte es (zumindestens meiner Meinung nach) nicht aus dem Satz mit dem Wittindex herleiten, da dieser Satz nur für [mm] $\IK$-Vektorräume [/mm] $V$ mit [mm] $char(\IK) \ne [/mm] 2$ gilt.
Liebe Grüße
Stefan
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