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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Totale Differenzierbarkeit
Totale Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Totale Differenzierbarkeit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 So 20.07.2014
Autor: Ymaoh

Aufgabe
Sei f: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR: [/mm] f(x) = |x|

Berechnen Sie grad(f) für x [mm] \not= [/mm] 0 und beweisen Sie, dass f am Ursprung nicht total differenzierbar ist.

Der Gradient ist:
grad(f) = [mm] \vektor{\bruch{(x_1)}{|x|} \\...\\\bruch{(x_n)}{|x|} } [/mm]
Das, ist ja erstmal kein Problem. Jetzt soll gezeigt werden, dass f im Ursprung nicht total differenzierbar ist. Ich weiß nicht genau, wie man das macht. Ich wollte es versuchen über den Ansatz:
[mm] f(x_0 [/mm] + h) = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] gradf(x_0)h [/mm] + r(h)
Aber da [mm] x_0 [/mm] = 0 ist (deru Ursprung), und sowohl f(0) als auch gradf(0) jeweils Null sind, kommt da raus:
f(h) = r(h),
und das geht beides gegen Null für h gegen Null.
Und das sagt mir doch nichts, oder?


        
Bezug
Totale Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 So 20.07.2014
Autor: fred97

f ist ja noch nicht mal partiell differenzierbar im Nullpunkt !

FRED

Bezug
                
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Totale Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 So 20.07.2014
Autor: Ymaoh

Weil die [mm] \bruch{x_i}{|x|} [/mm]
für x = 0 nicht definiert sind?

Bezug
                        
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Totale Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 So 20.07.2014
Autor: fred97


> Weil die [mm]\bruch{x_i}{|x|}[/mm]
>  für x = 0 nicht definiert sind?

Nein. Wäre f z.B. im Nullpunkt partiell nach [mm] x_1 [/mm] differenzierbar, so müsste


[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0,...,0)-f(0,...,0)}{h} [/mm]

existieren . Ist das der Fall ?

FRED

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Totale Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Mo 21.07.2014
Autor: Ymaoh

Nein, denn das wär nicht mehr von h abhängig.
Ich sollte mir wohl angewöhnen, direkt mit den Definitionen zu arbeiten...

Bezug
                                        
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Totale Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Mo 21.07.2014
Autor: fred97


> Nein, denn das wär nicht mehr von h abhängig.




Was ist los ???

Berechne mal

    [mm] \bruch{f(h,0,...,0)-f(0,...,0)}{h} [/mm]

FRED


>  Ich sollte mir wohl angewöhnen, direkt mit den
> Definitionen zu arbeiten...


Bezug
                                                
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Totale Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 Mo 21.07.2014
Autor: Ymaoh

Naja, mit f(x) = |x| ist doch:
f(h,0,.....,0) = h
und f(0) = 0,
Also:

[mm] \bruch{h - 0}{h} [/mm] = 1
?


Bezug
                                                        
Bezug
Totale Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Mo 21.07.2014
Autor: fred97


> Naja, mit f(x) = |x| ist doch:
>  f(h,0,.....,0) = h

Nein !!!  mit [mm] x=(x_1,...,x_n) [/mm] ist doch [mm] f(x)=\wurzel{x_1^2+...+x_n^2} [/mm]

Was ist dann  f(h,0,.....,0) ?

FRED

>  und f(0) = 0,
>  Also:
>  
> [mm]\bruch{h - 0}{h}[/mm] = 1
>  ?
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Totale Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Mo 21.07.2014
Autor: Ymaoh

Hö?
Na:

f(h,0,.....,0) = [mm] \wurzel{h^2 + 0 + .... + 0}= [/mm] h

Oder nicht?

Bezug
                                                                        
Bezug
Totale Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Mo 21.07.2014
Autor: fred97


> Hö?
>  Na:
>  
> f(h,0,.....,0) = [mm]\wurzel{h^2 + 0 + .... + 0}=[/mm] h
>  
> Oder nicht?

Es ist [mm] \wurzel{h^2}=|h| [/mm]

FRED


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