Totale Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Seppl1 |
| Aufgabe | Sei A ∈ Rn×n und sei f : Rn → Rn definiert durch f(x) := Ax+x*t(x), wobei t : Rn → R
eine stetige Funktion ist. Zeigen Sie, dass f im Punkt x = 0 total differenzierbar ist und
berechnen Sie die Ableitung Df(0). |
Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht zurecht!
Die Definition der totalen Differenzierbarkeit ist mir klar und daher denke ich, dass man eine intelligente Null dazu addieren muss um iwie auf eine ähnliche Formel zu kommen wie in der Definition gefordert!
Ich sehe die einzige Möglichkeit darin, ein "x*t(0) - x*t(0)" zu addieren. Aber dann komme ich auch nicht weiter!Ich hoffe irgendjemand hier kann mir helfen! Danke schon mal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Fr 25.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist $f(x) := Ax+x*t(x) = g(x)+h(x)$, wobei $g(x) = Ax$ und $h(x) = x*t(x)$
Nun überlege Dir, dass h in x = 0 total differenzierbar ist und $Dh(0)$ eine Diagonalmatrix ist , wobei jedes Diagonalelement = t(0) ist.
Wie sieht man das ? Sei x = [mm] (x_1, ...,x_n) [/mm] und [mm] h_j [/mm] die j-te Komponente von h, also
[mm] $h_j(x) [/mm] = [mm] x_j*t(x)$
[/mm]
Dann ist die partielle Ableitung von [mm] h_j [/mm] im Punkt x= 0 nach [mm] x_j [/mm] = t(0) und füt k [mm] \not=j [/mm] ist die partielle Ableitung von [mm] h_j [/mm] im Punkt x= 0 nach [mm] x_k [/mm] = 0
Die Abbildung g ist linear , also ist sie in 0 total differenzierbar und $Dg(0)= A$
FRED
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