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Totale Wahrscheinlichkeit: Hilfe bei Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Do 29.08.2019
Autor: magics

Aufgabe
Ein Mitarbeiter ist auf eine Betriebsfeier eingeladen und fragt drei Kollegen, ob es einen gehobenen Dresscode gibt oder man eher leger kommen kann. Jeder der drei Kollegen lügt mit [mm] $P=\bruch{1}{3}$ [/mm] und sagt mit [mm] $P=\bruch{2}{3}$ [/mm] die Wahrheit.

Alle drei antworten, dass es keinen Dresscode gibt.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es doch einen gibt und man sich blamiert, wenn man leger kommt?

Hallo,
die gute totale Wahrscheinlichkeit bereitet mir mal wieder totale Kopfschmerzen.

Zunächst definiere ich ein paar Ereignisse:

$d = [mm] \textnormal{dresscode ist gefordert}$ [/mm]
[mm] $k_{i} [/mm] = [mm] i\;\textnormal{Kollegen lügen}\;\;(i=0,1,2,3)$ [/mm]

Ich denke, das mit de [mm] $k_{i}$ [/mm] kann man machen, da alle Kollegen ja die gleichen Wahrscheinlichkeiten zum lügen haben.

Gesucht ist die totale Wahrscheinlichkeit [mm] $P(\textnormal{dresscode ist gefordert}) [/mm] = P(d) = [mm] P(d|k_0)P(k_0)+P(d|k_1)P(k_1)+P(d|k_2)P(k_2)+P(d|k_3)P(k_3)$ [/mm]

[mm] $P(k_i)$ [/mm] hat man alle
[mm] $P(d|k_0) [/mm] = 0$ und
[mm] $P(d|k_3) [/mm] = 1$

Wie berechnet man nun aber [mm] $P(d|k_1)$ [/mm] und [mm] $P(d|k_2)$? [/mm] Wenn ich das mit dem Satz von Bayes versuche, bekomme ich nur wieder Bedingte Wahrscheinlichkeiten, über die ich auch keine Aussage machen kann.

Lg
Thomas

        
Bezug
Totale Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Do 29.08.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du brauchst hier gar keine totale Wahrscheinlichkeit und diese ist hier auch gar nicht anwendbar.
Du hast nämlich durch die Ereignisse "Kollege i lügt" gar keine Partition deines Gesamtraums.

Der Mitarbeiter blamiert sich genau dann, wenn alle drei Kollegen lügen.
Ergo mit Wahrscheinlichkeit [mm] $\left(\frac{1}{3}\right)^3 [/mm] = [mm] \frac{1}{27}$ [/mm]

Gruß,
Gono



Bezug
                
Bezug
Totale Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Do 29.08.2019
Autor: magics

Hallo!

> Hiho,

Hallo!

>  
> du brauchst hier gar keine totale Wahrscheinlichkeit und
> diese ist hier auch gar nicht anwendbar.
> Du hast nämlich durch die Ereignisse "Kollege i lügt" gar
> keine Partition deines Gesamtraums.
>
> Der Mitarbeiter blamiert sich genau dann, wenn alle drei
> Kollegen lügen.
> Ergo mit Wahrscheinlichkeit [mm]\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}[/mm]

Ok. Wie sieht so der Wahrscheinlichkeitsbaum dazu aus?

                                                      
                               --alle lügen    [mm] (1/3)^3 [/mm]
                            --/                      
                        ---/                          
           --dresscode-/                              
         -/             ---\                          
       -/                   ---- keiner lügt   [mm] (2/3)^3 [/mm]
    --/                                              
  -/                                                  
-/-\                                                  
    -\                                                
      --\                     ---alle lügen    [mm] (2/3)^3 [/mm]
         -\  no          ----/                        
           --dresscode--/                            
                       --\                            
                          ---\                        
                              ---keiner lügt   [mm] (1/3)^3 [/mm]


Muss da nicht in der Gesamtheit 1 rauskommen? Mir ist klar, dass es nicht solche Fälle geben kann, in denen nur 1 oder 2 lügen, aber die kann man doch nicht einfach unter den Tisch fallen lassen...?

>  
> Gruß,
>  Gono
>  
>  


Bezug
                        
Bezug
Totale Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:06 Fr 30.08.2019
Autor: HJKweseleit

Dein Baum ist unvollständig, weil du nicht auch die gemischten Mgl. (z.B. lügt-lügt-sagt die Wahrheit) berücksichtigst.



Dein Baum sollte eher so aussehen:

                       nicht alle sagen "kein Dresscode"    1 - [mm] (1/3)^3 [/mm] = 26/27
                      /
           Dresscode
         /           \  
        /             alle sagen "kein Dresscode"    [mm] (1/3)^3 [/mm] =1/27
       /
-------
      [mm] \ [/mm]
       \                  alle sagen "kein Dresscode"     [mm] (2/3)^3 [/mm] = 8/27
        [mm] \ [/mm]
         \               /
          kein Dresscode
                        \  
                         nicht alle sagen "kein Dresscode"    [mm] 1-(2/3)^3 [/mm] = 19/27


Die W. für kein Dresscode ist nach Bayes nun 8/27:(1+8)/27=8/9. Alle Fälle ergänzen sich aber zu 2, und nur die beiden mittleren Fälle sind relevant.

Es fehlen noch die W. an der Wurzel. Wir nehmen jede mit 1/2 an, dann halbieren sich alle W. an den Enden.

Die W. wäre somit 8/9.

Man sieht hier die Schwäche des Modells: Wenn der Chef z.B. grundsätzlich auf "Dresscode" oder grundsätzlich auf "kein Dresscode" besteht, ändern sich die W. total auf 0 oder 1. Da man diese W. für "Dresscode" und "kein Dresscode" nicht kennt, nimmt man sie als gleichwahrscheinlich an.

Bezug
                                
Bezug
Totale Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:22 Fr 30.08.2019
Autor: magics


> Dein Baum ist unvollständig, weil du nicht auch die
> gemischten Mgl. (z.B. lügt-lügt-sagt die Wahrheit)
> berücksichtigst.
>  
>
>
> Dein Baum sollte eher so aussehen:
>  
> nicht alle sagen "kein Dresscode"    1 - [mm](1/3)^3[/mm] = 26/27
>                        /
>             Dresscode
>           /           \  
> /             alle sagen "kein Dresscode"    [mm](1/3)^3[/mm] =1/27
>         /
>  -------
>        [mm]\[/mm]
>         \                  alle sagen "kein Dresscode"    
> [mm](2/3)^3[/mm] = 8/27
>          [mm]\[/mm]
>           \               /
>            kein Dresscode
>                          \  
> nicht alle sagen "kein Dresscode"    [mm]1-(2/3)^3[/mm] = 19/27
>  
>
> Die W. für kein Dresscode ist nach Bayes nun
> 8/27:(1+8)/27=8/9. Alle Fälle ergänzen sich aber zu 2,
> und nur die beiden mittleren Fälle sind relevant.

Irgendwas stimmt in deiner Rechnung nicht. [mm] $\bruch{(1+8)}{27} [/mm] = [mm] \bruch{9}{27} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}$, [/mm] oder?

>  
> Es fehlen noch die W. an der Wurzel. Wir nehmen jede mit
> 1/2 an, dann halbieren sich alle W. an den Enden.
>  
> Die W. wäre somit 8/9.

Das erscheint mir recht hoch. Das würde ja umgangssprachlich bedeuten, dass obwohl alle drei Kollegen mit nur je [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] Wahrscheinlichkeit lügen, die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei auf einmal lügen fast 90% ist.

Was ist an der folgenden Interpretation falsch: Wir wissen ja, dass alle drei sagen, "man brauche nicht im Dresscode kommen.". Unter der Bedingung, dass wir wissen, dass alle drei das gleiche sagen, kann die Möglichkeit, dass man doch im Dresscode kommen muss, nur dann sein, wenn genau alle drei lügen. Also [mm] $\bruch{1}{3}^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{27}$ [/mm]

>  
> Man sieht hier die Schwäche des Modells: Wenn der Chef
> z.B. grundsätzlich auf "Dresscode" oder grundsätzlich auf
> "kein Dresscode" besteht, ändern sich die W. total auf 0
> oder 1. Da man diese W. für "Dresscode" und "kein
> Dresscode" nicht kennt, nimmt man sie als
> gleichwahrscheinlich an.

Diese Aufgabe ist schlimmer als das Ziegenproblem... ich habe jetzt schon mit einem halben Dutzend Leute eine Diskussion was richtig ist und was nicht - jeder ist von etwas anderem überzeugt.

Lg


Bezug
                                        
Bezug
Totale Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Fr 30.08.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Diese Aufgabe ist schlimmer als das Ziegenproblem... ich
> habe jetzt schon mit einem halben Dutzend Leute eine
> Diskussion was richtig ist und was nicht - jeder ist von
> etwas anderem überzeugt.

das Problem ist, das schlichtweg Informationen fehlen.
Lügen die drei unabhängig voneinander? Oder nicht?

Lügen sie unabhängig, ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Lügen eben [mm] $\left(\frac{1}{3}\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{27}$ [/mm]

Tun sie das nicht, sondern ist es bspw. so, dass sie nur gemeinsam gleichzeitig lügen, dann ist die Wahrscheinlichkeit eben [mm] $\frac{1}{3}$. [/mm]

So wie die Aufgabe gestellt ist, kann man aber mMn davon ausgehen, dass sie unabhängig entscheiden, ob sie die Wahrheit sagen, oder nicht… tut man das, kann man nur auf [mm] \frac{1}{27} [/mm] kommen.

Der Ansatz von HJKweseleit ist nicht zielführend.
Der Baum stimmt zwar, allerdings, wie er erwähnt hat, braucht man dafür die Wahrscheinlichkeiten für den Dresscode. Die kennt man nicht… da kann man auch nicht einfach [mm] \frac{1}{2} [/mm] wählen, jede andere WKeit wäre genauso denkbar.
Und dann kommt man eben nicht mehr auf [mm] \frac{8}{9} [/mm] sondern auf alle möglichen anderen Werte…

Du kannst mir gerne die vermeintlichen "Lösungen" deiner "dutzend Leute" präsentieren und ich nehme sie auseinander ;-)

Gruß,
Gono



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Bezug
Totale Wahrscheinlichkeit: Merci
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:31 Fr 30.08.2019
Autor: magics

Ist glaub ich nicht nötig, die (meisten) haben es eingesehen :D

Danke!

Bezug
                                        
Bezug
Totale Wahrscheinlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:29 Fr 30.08.2019
Autor: HJKweseleit


> > Die W. für kein Dresscode ist nach Bayes nun
> > 8/27:(1+8)/27=8/9. Alle Fälle ergänzen sich aber zu 2,
> > und nur die beiden mittleren Fälle sind relevant.
>  
> Irgendwas stimmt in deiner Rechnung nicht.
> [mm]\bruch{(1+8)}{27} = \bruch{9}{27} = \bruch{1}{3}[/mm], oder?
>  

Ich habe aus Bequemlichkeit schludrig geschrieben:

[mm] 8/27:(1+8)/27=\bruch{8}{27}:\bruch{1+8}{27}=\bruch{8}{27}*\bruch{27}{9}=\bruch{8}{9} [/mm]

Interpretation: Wenn der Chef sich gleich oft und zufällig mal für das eine oder andere entscheidet, beträgt die W. dafür, dass er sich diesmal für "kein Dresscode" entschieden hat, 8/9.


Nach allem bisher geschriebenen sollte klar sein, dass man mit dem Ergebnis nicht viel anfangen kann, wenn man die  W. für die Wahl des Chefs nicht kennt.

Hierzu ein anderes paradoxes Rätsel:

Man sieht in einer fremden Stadt mit 15 000 Einwohnern ein Taxi mit der Nr. 7. (Die Taxis sind fortlaufend nummeriert). Welches ist der beste Schätzwert für die Gesamtzahl der Taxis?

Antwort 1: 14, denn vermutlich liegt die gesehene Nummer nahe am Mittelwert. Das ist aber falsch.

Antwort 2: 7. Die W. dafür, bei 7 Taxis die Nr. 7 zu sehen, beträgt genau 1/7. Die W. dafüt, bei mehr als 7 Taxis die Nr. 7 zu sehen, beträgt weniger als 1/7.

Klingt logisch. Passt auch wohl. Gilt das auch, wenn man in New York die Nummer 7 sieht?

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