Totales Differential < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Sa 14.08.2010 | | Autor: | dicentra |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differenzials die Oberflächenänderung
eines Zylinders mit Boden und Deckel, dessen Radius r=12 cm um 3%
vergrößert und dessen Höhe h=27cm gleichzeitig um 1,4% verkleinert wurde.
Vergleichen Sie diesen Näherungswert mit dem exakten Wert. |
[mm] O=2*\pi*r*h+2*\pi*r^2
[/mm]
[mm] A_{alt}=2940,531 cm^2
[/mm]
[mm] A_{neu}=3027,349 cm^2
[/mm]
[mm] \Delta A=A_{neu}-A_{alt}=86,818 cm^2 [/mm] => exakter Wert
partielle Ableitungen:
[mm] O_{r(r,h)} [/mm] = [mm] 2*\pi*h+4*\pi*r
[/mm]
[mm] O_{h(r,h)} [/mm] = [mm] 2*\pi*r
[/mm]
[mm] \Delta [/mm] h und [mm] \Delta [/mm] r ausrechnen:
[mm] \Delta [/mm] h = h_neu-h_alt = -0,378 cm
[mm] \Delta [/mm] r = r_neu-r_alt = 0,36 cm
Totales Differential:
df = [mm] (2*\pi*27+4*\pi*12)*(-0,378)+(2*\pi*12)*0,36=-93,984 cm^2
[/mm]
Folgende Fragen stellen sich nun:
Ist das Ergebnis richtig?
Und was sagt mir das jetzt?
Wird die Fläche einmal kleiner und beim exakten Wert größer? Würde das Sinn machen?
greetz, dic
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 So 15.08.2010 | | Autor: | dicentra |
$ [mm] (2\cdot{}\pi\cdot{}27+4\cdot{}\pi\cdot{}12)\cdot{}0,36+(2\cdot{}\pi\cdot{}12)\cdot{}(-0,378)=86,858 cm^2 [/mm] $
so sieht das wohl schon besser aus.
aber was genau kann ich jetzt darüber sagen?
wir haben zwischen exaktem wert und dem totalen differential eine differenz von 0,04. was bedeutet das jetzt? welche aussage kann ich aus dem ergebnis ziehen?
greetz, dic
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 So 15.08.2010 | | Autor: | Calli |
> wir haben zwischen exaktem wert und dem totalen
> differential eine differenz von 0,04.
0,04 'Käsestückchen' oder was ???
Wenn Du schon mit Zahlenwerten rechnest, dann bitte vollständig.
Konkrete Werte bestehen aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit !
> was bedeutet das
> jetzt? welche aussage kann ich aus dem ergebnis ziehen?
Aus dem Ergebnis ergibt sich der absolute und - besser - der relative Fehler der gemacht wird, wenn statt des exakten Funktionswertes an der Stelle [mm] $(x_0+\Delta x)|(y_0+\Delta [/mm] y)$ der Funktionswert über den Zuwachs (totales Differential) [mm] $d\,f(f_x,f_y,\Delta x,\Delta [/mm] y)$ berechnet wird.
[mm] ($\Delta [/mm] x \ und\ [mm] \Delta [/mm] y$ können auch als Unsicherheiten (Fehler) von [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] aufgefasst werden.)
Ciao Calli
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[hot]](/images/smileys/hot.gif "[hot]"){kind=small}
