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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Totales Differenzial
Totales Differenzial < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Totales Differenzial: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Do 21.06.2012
Autor: Robse

Aufgabe
Gegeben seien die Funktionen f,g: [mm] \IR^2 \to \IR^3 [/mm] mit

f(x,y)= [mm] \vektor{2x+y^3 \\ xy \\ -2} [/mm] und g(x,y)= [mm] \vektor{y \\ x^2+y^2 \\ 3x} [/mm]

Bestimmen Sie die Ableitung von <f,g> und f x g.


Guten Tag,
ich bin mir mit dieser Aufgabe nicht wirklich sicher, es wäre, nett wenn dort mal jemand drüber gucken könnte, und mit vllt erklärt was ich falsch gemacht habe. Schonmal danke im vorraus.

[mm] =(2x+y^3)y [/mm] + [mm] (x^2+y^2)xy [/mm] + 3x(-2) = [mm] y^4+2xy+x^3y+xy^3-6x [/mm]

[mm] _x=2y+3x^2y+y^3-6 [/mm]
[mm] _y=4y^3+2x+x^3+3xy^2 [/mm]


(f x g)= [mm] \vektor{2x+y^3 \\ xy \\ -2} [/mm] x [mm] \vektor{y \\ x^2+y^2 \\ 3x} [/mm] = [mm] \vektor{xy(3x) + 2(x^2+y^2) \\ -2y - 2x+y^3(3x) \\ (2x+y^3)(x^2+y^2) - xy(y)} [/mm]

(f x [mm] g)_x= \vektor{6xy+4x \\ -12x+3y^3 \\ 6x^2+2y^3x+y^2} [/mm]

(f x [mm] g)_y= \vektor{3x^2+4y \\ -2+9xy^2 \\ 5y^4+3x^2y^2+2xy} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Totales Differenzial: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Do 21.06.2012
Autor: notinX

Hallo,

> Gegeben seien die Funktionen f,g: [mm]\IR^2 \to \IR^3[/mm] mit
>  
> f(x,y)= [mm]\vektor{2x+y^3 \\ xy \\ -2}[/mm] und g(x,y)= [mm]\vektor{y \\ x^2+y^2 \\ 3x}[/mm]
>  
> Bestimmen Sie die Ableitung von <f,g> und f x g.

ist das die exakte Aufgabenstellung? Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen gibt es nicht 'die' Ableitung. Es gibt verschiedene Ableitungsbegriffe.

>  Guten Tag,
> ich bin mir mit dieser Aufgabe nicht wirklich sicher, es
> wäre, nett wenn dort mal jemand drüber gucken könnte,
> und mit vllt erklärt was ich falsch gemacht habe. Schonmal
> danke im vorraus.
>  
> [mm]=(2x+y^3)y[/mm] + [mm](x^2+y^2)xy[/mm] + 3x(-2) =
> [mm]y^4+2xy+x^3y+xy^3-6x[/mm]
>  
> [mm]_x=2y+3x^2y+y^3-6[/mm]
>  [mm]_y=4y^3+2x+x^3+3xy^2[/mm]

Das sind die partiellen Ableitungen, die stimmen.

>  
>
> (f x g)= [mm]\vektor{2x+y^3 \\ xy \\ -2}[/mm] x [mm]\vektor{y \\ x^2+y^2 \\ 3x}[/mm]
> = [mm]\vektor{xy(3x) + 2(x^2+y^2) \\ -2y - 2x+y^3(3x) \\ (2x+y^3)(x^2+y^2) - xy(y)}[/mm]

hier fehlt eine Klammer:
[mm] $=\left(\begin{array}{c} xy(3x)+2(x^{2}+y^{2})\\ -2y-{\color{red}({\color{black}2x+y^{3}})}(3x)\\ (2x+y^{3})(x^{2}+y^{2})-xy(y) \end{array}\right)$ [/mm]


>  
> (f x [mm]g)_x= \vektor{6xy+4x \\ -12x+3y^3 \\ 6x^2+2y^3x+y^2}[/mm]

hier ist ein Vorzeichenfehler:
[mm] $=\left(\begin{array}{c} 6xy+4x\\ -12x{\color{red}-}3y^{3}\\ 6x^2+2y^3x+y^2 \end{array}\right)$ [/mm]

>  
> (f x [mm]g)_y= \vektor{3x^2+4y \\ -2+9xy^2 \\ 5y^4+3x^2y^2+2xy}[/mm]

hier auch:
[mm] $=\left(\begin{array}{c} 3x^{2}+4y\\ -2{\color{red}-}9xy^{2}\\ 5y^{4}+3x^{2}y^{2}+2xy \end{array}\right)$ [/mm]

Bei Vektorwertigen Funktionen würde ich unter Ableitung die Jacobi-Matrix verstehen.

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Totales Differenzial: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:33 Do 21.06.2012
Autor: Robse

Danke schön für die Mühe,
meine üblichen Fehler: Vorzeichen und Klammern....

An die Option mit der Jacobi-Matrix habe ich noch gar nicht gedacht. Das wäre doch dann aber auch nur:

[mm] J_{(f x g)}(x,y)= \pmat{6xy+4x & 3x^2+4y\\ -12x-3y^3 & -2-9xy^2 \\6x^2+2y^3x+y^2 & 5y^4+3x^2y^2+2xy} [/mm]

oder erinnere ich mich da falsch?

Bezug
                        
Bezug
Totales Differenzial: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:27 Do 21.06.2012
Autor: notinX


> Danke schön für die Mühe,
>  meine üblichen Fehler: Vorzeichen und Klammern....
>  
> An die Option mit der Jacobi-Matrix habe ich noch gar nicht
> gedacht. Das wäre doch dann aber auch nur:
>  
> [mm]J_{(f x g)}(x,y)= \pmat{6xy+4x & 3x^2+4y\\ -12x-3y^3 & -2-9xy^2 \\6x^2+2y^3x+y^2 & 5y^4+3x^2y^2+2xy}[/mm]
>  
> oder erinnere ich mich da falsch?

Nein, tust Du nicht.
Kleiner Tipp: Nachschauen ist manchmal ergiebiger als erinnern.
Noch ein Tipp: Wenn Du eine Antwort erwartest solltest Du eine Frage, keine Mitteilung erstellen.

Gruß,

notinX

Bezug
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