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| Aufgabe | | Es sei [mm] \phi(x,t):\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R} [/mm] eine differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger. Ist dann der Träger von [mm] \phi_{t} [/mm] bzw. [mm] \phi_{x} [/mm] eine Teilmenge des Träger von [mm] \phi? [/mm] |
Hallo,
meiner Meinung nach stimmt die Aussage. Wenn [mm] \phi [/mm] auf einer Menge M Null ist und angenommen, dass die Ableitung nach der Zeit oder dem Ort dort nicht überall Null ist, so müsste dies doch eine Änderung bei der Ausgangsfunktion [mm] \phi [/mm] bewirken, d.h. [mm] \phi [/mm] wäre nicht mehr überall auf dieser Menge M Null.
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Di 16.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\phi(x,t):\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}[/mm] eine
> differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger. Ist dann
> der Träger von [mm]\phi_{t}[/mm] bzw. [mm]\phi_{x}[/mm] eine Teilmenge des
> Träger von [mm]\phi?[/mm]
> Hallo,
>
> meiner Meinung nach stimmt die Aussage. Wenn [mm]\phi[/mm] auf einer
> Menge M Null ist und angenommen, dass die Ableitung nach
> der Zeit oder dem Ort dort nicht überall Null ist, so
> müsste dies doch eine Änderung bei der Ausgangsfunktion
> [mm]\phi[/mm] bewirken, d.h. [mm]\phi[/mm] wäre nicht mehr überall auf
> dieser Menge M Null.
>
> Ist das richtig?
Nein, es ist wischi-waschi-Geschwafel.
Wir wissen: es gibt eine Kompakte Teilmnge K des [mm] \IR^2 [/mm] mit
[mm] \phi(x)=0 [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] G,
wobei $G:= [mm] \IR^2 \setminus [/mm] K$. Dann ist G nichtleer und offen. Sei [mm] (x_0,t_0) \in [/mm] G . Wähle h [mm] \ne [/mm] 0 , h [mm] \in \IR [/mm] so, dass [mm] (x_0+h,t_0) \in [/mm] G liegt.
Dann ist
[mm] \bruch{\phi(x_0+h,t_0)-\phi(x_0,t_0)}{h}=0.
[/mm]
Mit h [mm] \to [/mm] 0 sieht man dann: [mm] \phi_x(x_0,t_0)=0
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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