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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:15 Fr 30.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Jede matrix A [mm] \in [/mm] GL(n , [mm] \IR) [/mm] defeniert eine bijektive lineare Abbildung
A: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR^n [/mm] , x -> Ax und x [mm] \in \IR^n
[/mm]
Für eine stetige Funktion f: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ist die Funktion
f [mm] \circ [/mm] A : [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , x-> f(Ax) wieder stetig.
Hat f kompakten Träger so auch [mm] f\circ [/mm] A |
Hallo
Mir gehts um:
> Für eine stetige Funktion f: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ist die Funktion
> f [mm] \circ [/mm] A : [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , x-> f(Ax) wieder stetig.
> Hat f kompakten Träger so auch [mm] f\circ [/mm] A
In Linag haben wir gelernt x -> Ax ist eine lineare Funktion. Ich kann mich erinnern, dass jede lin Funktion stetig ist. Und die Komposition zweier stetiger Abbildungen ist stetig.
Aber wie kommt das mit dem kompakten Träger zustande bzw. wie erklärt man das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Fr 30.11.2012 | | Autor: | Walde |
Hi sissile,
nicht jede lineare Abb. ist stetig. Bei linearen Abb. ist stetig äquivalent zur Stetigkeit in einem Punkt und zur Beschränktheit. Kuck das nochmal nach.
Träger sind ja per Definition abgeschlossen, du brauchst also die Beschränktheit des Trägers von [mm] $f\circ [/mm] A$, d.h. das [mm] $f\circ [/mm] A$ irgendwann immer Null ist, wenn |x|>M für irgendein M>0 (also ausserhalb einer Kugel).
Zur Verfügung steht zB, dass der Träger von f beschränkt ist, also zB in eine Kugel [mm] B_R(0) [/mm] passt für R>0 gross genug und das wenn A stetig ist, A beschränkt ist. Das reicht evtl schon, überleg und probier mal'n bisschen.
LG walde
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Fr 30.11.2012 | | Autor: | sissile |
> Hi sissile,
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> nicht jede lineare Abb. ist stetig. Bei linearen Abb. ist
> stetig äquivalent zur Stetigkeit in einem Punkt und zur
> Beschränktheit. Kuck das nochmal nach.
Ich dachte die Aussage ist für endlichdimensionale Vektorräume richtig.
Den ich kann mich noch anen Beweis errinern, wo wird das mit der Norm abgeschätzt haben..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:03 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Walde |
Ok, dann hatte "ich" das falsch in Erinnerung, kann schon sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Sa 01.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hi sissile,
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> >
> > nicht jede lineare Abb. ist stetig. Bei linearen Abb. ist
> > stetig äquivalent zur Stetigkeit in einem Punkt und zur
> > Beschränktheit. Kuck das nochmal nach.
> Ich dachte die Aussage ist für endlichdimensionale
> Vektorräume richtig.
Ja, A ist stetig.
Sei [mm] T_f [/mm] der Träger von f, sei g:=f [mm] \circ [/mm] A und sei [mm] T_g [/mm] der Träger von g.
Zeige:
[mm] A(T_f)=T_g.
[/mm]
FRED
> Den ich kann mich noch anen Beweis errinern, wo wird das
> mit der Norm abgeschätzt haben..
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