Trägheitsmoment < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie durch Integration das Trägheitsmoment einer dünnen gleichförmigen Kreisscheibe mit der Masse m und dem Radius r bezüglich der Drehung um den Durchmesser der Scheibe. |
Hallo,
anbei die Lösungsskizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im Lösungsbuch steht folgendes:
Wie aus der Abbildung hervorgeht, wählen wir die x-Achse als Rotationsachse.
Der Radius ist dann gegeben durch [mm] r=\wurzel{r_0^2-z^2} [/mm] und die Masse der Scheibe mit der Dicke dz ist
[mm] dm=\sigma dA=2\sigma \wurzel{r_0^2-z^2} [/mm] dz
Das Trägheitsmoment erhalten wir durch Integration:
[mm] I=\integral z^2dm=\integral z^2\sigma dA=\int_{-r_0}^{r_0} z^2 (2\sigma) \wurzel{r_0^2-z^2} dz=\br{1}{4} \sigma \pi r_0^4
[/mm]
Mit der Masse [mm] m=\sigma \pi r_0^2 [/mm] der gleichförmigen Scheibe erhalten wir für ihr Trägheitsmoment [mm] I=\br{1}{4}mr_0^2.
[/mm]
Die Integration ansich kann ich mir noch so einigermaßen erklären...
Aber die Integrationsgrenzen sind mir etwas schleierhaft.
Es geht ja darum das Produkt aus Flächenelementen dz und deren Abstand [mm] z^2 [/mm] aufzusummieren. Was bedeutet [mm] -r_0 [/mm] bis [mm] r_0 [/mm] genau?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo!
[mm] r_0 [/mm] ist grundsätzlich der Radius der Scheibe.
Das schraffierte Stück ist demnach [mm] 2*r=2*\sqrt{r_0^2-z^2} [/mm] breit und dz hoch. Und damit hat es die Masse [mm] \rho*2*\sqrt{r_0^2-z^2}\,dz [/mm] Da der Abstand zur x-Achse z ist, ist der Beitrag zum Trägheitsmoment [mm] z^2*\rho*2*\sqrt{r_0^2-z^2}\,dz
[/mm]
Nunja, und nun ist dz unendlich klein (der schraffierte Bereich unendlich dünn), und du mußt die Beiträge aller Bereiche aufaddieren. Von ganz unten ( [mm] z=-r_0 [/mm] ) bis ganz oben ( [mm] z=+r_0 [/mm] ).
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