Trägheitsmoment berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 So 22.11.2009 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | Der Bereich B der xy-Ebene sei begrenzt durch die Kurven
y = [mm] x^2, [/mm] x = 2, y =1.
Bei sei homogen mit der Masse der Dichte 1 belegt.
Berechne sein Trägheitmoment in bezug auf den Ursprung
Berechne die Fläche des Bereichs, der von den Funktionen eingeschlossen wird. |
Hallo!
Die Fläche ist kein Problem:
I = [mm] \integral_{}^{}{\integral_{}^{}{f(x,y) dB}}
[/mm]
I = [mm] \integral_{1}^{1}{(\integral_{y=1}^{y=x^2}{dy}) dx} [/mm] = 1 [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Jedoch wundere ich mich gerade über das Trägheitsmoment.
![[]](/images/popup.gif) Plot der Funktion
Wie berechne ich das?
Vielen Dank für jede Hilfe.
lg
Babapapa
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Hallo babapapa,
> Der Bereich B der xy-Ebene sei begrenzt durch die Kurven
> y = [mm]x^2,[/mm] x = 2, y =1.
> Bei sei homogen mit der Masse der Dichte 1 belegt.
> Berechne sein Trägheitmoment in bezug auf den Ursprung
> Berechne die Fläche des Bereichs, der von den Funktionen
> eingeschlossen wird.
> Hallo!
>
>
> Die Fläche ist kein Problem:
>
> I = [mm]\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{f(x,y) dB}}[/mm]
> I =
> [mm]\integral_{1}^{1}{(\integral_{y=1}^{y=x^2}{dy}) dx}[/mm] = 1
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Jedoch wundere ich mich gerade über das Trägheitsmoment.
> Plot der Funktion
>
> Wie berechne ich das?
Hier ist wohl nach dem polaren Trägheitsmoment gefragt.
Die Formel hier zu lautet:
[mm]I_{p}=\integral_{A}^{}{x^{2}+y^{2} \ dA}[/mm]
Die Trägheitsmomente bezüglich der x- bzw. y-Achse
ergeben sich wie folgt:
[mm]I_{x}=\integral_{A}^{}{x^{2} \ dA}[/mm]
[mm]I_{y}=\integral_{A}^{}{y^{2} \ dA}[/mm]
Es ist dann zu sehen, daß [mm]I_{p}=I_{x}+I_{y}[/mm] gilt.
>
> Vielen Dank für jede Hilfe.
>
> lg
> Babapapa
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 So 22.11.2009 | | Autor: | babapapa |
Hallo !
Danke für die rasche Antwort!
Um ehrlich zu sein, stehe ich aber hier ein wenig an.
Ich habe gerade etwas im Taschenbuch der Mathematik (Borenstein) nachgeschlagen aber versteh das nicht ganz, vorallem weil dort
[mm] I_y [/mm] = p [mm] \integral_{a}^{b}{x^2 y dx} [/mm] steht, wobei y gleichzeitig die Länge des zur y-Achse prallelen Schnittes ist. p ist die Dichte
Kannst du mir bitte zeigen wie ich das ganze hier für die y-Achse berechne?
lg
Babapapa
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Hallo babapapa,
> Hallo !
>
> Danke für die rasche Antwort!
> Um ehrlich zu sein, stehe ich aber hier ein wenig an.
> Ich habe gerade etwas im Taschenbuch der Mathematik
> (Borenstein) nachgeschlagen aber versteh das nicht ganz,
> vorallem weil dort
>
> [mm]I_y[/mm] = p [mm]\integral_{a}^{b}{x^2 y dx}[/mm] steht, wobei y
> gleichzeitig die Länge des zur y-Achse prallelen Schnittes
> ist. p ist die Dichte
>
> Kannst du mir bitte zeigen wie ich das ganze hier für die
> y-Achse berechne?
Die Formel für das Trägheitsmoment bezüglich der y-Achse lautet:
[mm]I_{y}=\integral_{A}^{}{x^{2} \ dA}[/mm]
entsprechend bezogen auf die x-Achse:
[mm]I_{x}=\integral_{A}^{}{y^{2} \ dA}[/mm]
Ich habe in meinem vorherigen Post die Integranden verwechselt.
Nun ist das Flächenelement [mm]dA \ = \ dy \ dx[/mm]
[mm]I_{y}=\integral_{A}^{}{x^{2} \ dA}=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{x^{2} \ dy} \ dx}=\integral_{}^{}{x^{2}*y \ dx}[/mm]
>
> lg
> Babapapa
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Di 24.11.2009 | | Autor: | babapapa |
Hallo!
Ich hoffe ich habs verstanden:
[mm] I_{y}=\integral_{A}^{}{x^{2} \ dA}=\integral_{}^{}{\integral_{}^{}{x^{2} \ dy} \ dx}=\integral_{}^{}{x^{2}\cdot{}y \ dx} [/mm] =
[mm] \integral_{x^2 = y}^{2}{x^{2}\cdot{}y \ dx} [/mm] =
= y [mm] \cdot{} \integral_{x^2 = y}^{2}{x^{2} \ dx} [/mm] = y [mm] \cdot{} [\bruch{x^3}{3}]_{x^2 = y}^{2} [/mm] = y [mm] \cdot{} (\bruch{8}{3} [/mm] - [mm] \bruch{y^{ \bruch{3}{2} }}{3})
[/mm]
Stimmt das soweit?
lg
Babapapa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Di 24.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein y hängt doch von x ab. d.h. du musst y(x) in deinem Integral einsetzen und dann von 0 bis 1 und 1 bis 2 integrieren, weil du ja ab x=1 ne andere Fkt hast.
Gruss leduart
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![[]](http://img695.imageshack.us/img695/8541/bereich.jpg){kind=small}
Plot der Funktion