Trägheitsmoment und Energie < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Sa 02.09.2006 | | Autor: | Kuebi |
| Aufgabe | Auszurechnen ist das Trägheitsmoment einer CD (Masse M, Radien [mm] R_{1} [/mm] und [mm] R_{2}) [/mm] und dann die Rotationsenergie dieser bei einer bestimmten Umdrehungszahl.
Zudem ist zu berechnen, wie sich die Rotationsenergie der CD ändert, wenn diese nicht genau im Drehpunkt sondern um 1mm verschoben gelagert ist.
Desweitern ist gefragt, mit welcher Geschwindigkeit die CD aus dem Fach fliegt, wenn sie der Unwucht nicht mehr standhalten kann und plötzlich alle Befestigungen verschwunden sind!  |
Hallo ihr!
Ich habe die Aufgabe hier nur allgemein beschrieben, da im expliziten Fall nur noch Werte eingesetzt werden müssen.
Die drei ersten Aufgabenteile sind mir klar:
Trägheitsmoment: [mm] J=\integral_{R_{1}}^{R_{2}}{r^{2}dV}=\bruch{M}{2}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})
[/mm]
Rotationsenergie: [mm] E_{rot}=\bruch{J}{2}\omega^{2}
[/mm]
"Neue Rotationsenergie" über den Satz von Steiner: [mm] E_{rot_{neu}}=\bruch{J_{neu}}{2}\omega^{2}=\bruch{J+M(\Delta y)^{2}}{2}\omega^{2}
[/mm]
Jetzt zum letzten Teil: Ich habe gedacht, man kann es vielleicht so lösen: Die Differenz zwischen "alter" und "neuer" Roationsenergie, also die Differenz die in der Unwucht steckt, wird vollständig meine neue kinetische Energie, da ohne Halterungen ja keine Unwucht mehr vorhanden ist und die Schalplatte dann deswegen wegfliegt aber sich trotzdem noch mit der "alten" Rotation dreht.
Ergo wäre meine [mm] E_{kin}=E_{rot_{neu}}-E_{rot}
[/mm]
und hieraus dann mein v.
Kann man das so machen oder denk ich hier verquer?
Viele Dank für eure Ideen!
Lg, Kübi
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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Hallo,
ich meine, das stimmt so. Mein Senf dazu:
Das sieht man ja direkt am Satz von Steiner. Da schreibst du:
[mm] $E_{rot_{neu}}=\bruch{J+M(\Delta y)^{2}}{2}\omega^{2}$
[/mm]
$ = [mm] \bruch{J}{2}\omega^2+\bruch{M*v_t^{2}}{2}$
[/mm]
Auch wenn die Befestigungen noch nicht weg sind, erfährt der Schwerpunkt neuerdings eine Translation mit der Geschwindigkeit [mm] $v_t$.
[/mm]
Aber habe ich nicht nur das, was du geschrieben hattest, nur umformuliert?
Auf jeden Fall stimme ich dir zu!
Gruß
Martin
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Hallo!
Habe die Aufgabe gerade versucht zu rechnen, stehe beim Trägheitsmoment aber ein bisschen auf dem Schlauch. Ich bekomm nämlich folgendes raus:
[mm] J=\bruch{M}{2} (R_{2}^{2}-R_{1}^{2})
[/mm]
Mein Rechenweg sieht so aus: mit [mm] \delta [/mm] = Dichte
J= [mm] \delta*\integral_{R_{1}}^{R_{2}}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{z}{r^{3} dr d\nu dz}
[/mm]
[mm] =\delta *2\pi [/mm] *z [mm] (\bruch{1}{4}R_{2}^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}R_{1}^{2})
[/mm]
mit [mm] \delta= \bruch{M}{\pi*z*(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}
[/mm]
wird das zu:
J= [mm] \bruch{M}{2} (R_{2}^{2}-R_{1}^{2}) [/mm] , obwohl eigentlich [mm] \bruch{M}{2} (R_{2}^{2}+R_{1}^{2}) [/mm] rauskommen müsste.
Kann mir vielleicht jemand sagen, wo ich mich da verrechnet hab?
Lg
SirBigMac
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:12 Di 05.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Sir
Das + in [mm] $R1^2+R2^2$ [/mm] ist ein Fehler, Natrlich ist die Differenz richtig. (Das Loch hat ja kein Trägheitsmoment!)
Gruss leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Di 05.09.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Also, ich kann Leduarts Antwort hier nicht zustimmen!
Eine CD entspricht ja einem Hohlzylinder mit geringer Höhe!
Folglich rechnet man...
[mm] J=\rho\cdot{}\integral_{R_{1}}^{R_{2}}\integral_{\phi=0}^{2\pi}\integral_{z=0}^{h}{r^{3} dr d\phi dz}=\rho*2*\pi*h*(\bruch{R_{2}^{4}}{4}-\bruch{R_{1}^{4}}{4})=\rho*2*\pi*h*\bruch{1}{4}*(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})*(R_{2}^{2}+R_{1}^{2})=\rho*\bruch{1}{2}*\pi*h*(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})*(R_{2}^{2}+R_{1}^{2})
[/mm]
Jetzt ist folgendes der Fall:
Das Volumen der CD ist ja gerade
[mm] V=(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})*\pi*h
[/mm]
Folglich ist die Masse
[mm] M=\rho*(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})*\pi*h
[/mm]
Deshalb wird aus unserer Gleichung oben
[mm] J=\rho*\bruch{1}{2}*\pi*h*(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})*(R_{2}^{2}+R_{1}^{2})=\bruch{1}{2}*M*(R_{2}^{2}+R_{1}^{2})
[/mm]
Das sieht zwar verblüffend aus, aber ein Hohlzylinder hat bei selber Masse wie ein Vollzylinder ein höheres Trägheitsmoment!
Lg, Kübi
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hmm....
Also irgendwie hab ichs immer noch nicht ganz geschnallt.
Du hast folgendes gerechnet:
> [mm]\rho*2*\pi*h*(\bruch{R_{2}^{2}}{4}-\bruch{R_{1}^{2}}{4})=\rho*2*\pi*h*\bruch{1}{4}*(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})*(R_{2}^{2}+R_{1}^{2})[/mm]
>
aber
[mm] (\bruch{R_{2}^{2}}{4}-\bruch{R_{1}^{2}}{4}) [/mm] ist doch nicht gleich [mm] \bruch{1}{4}*(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})*(R_{2}^{2}+R_{1}^{2}) [/mm] oder??
Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert kriegt man doch [mm] R^{4} [/mm] - Terme und das passt ja nicht.
Lg
SirBigMac
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mi 06.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
> hmm....
>
> Also irgendwie hab ichs immer noch nicht ganz geschnallt.
>
> Du hast folgendes gerechnet:
>
> >
> [mm]\rho*2*\pi*h*(\bruch{R_{2}^{2}}{4}-\bruch{R_{1}^{2}}{4})=\rho*2*\pi*h*\bruch{1}{4}*(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})*(R_{2}^{2}+R_{1}^{2})[/mm]
> >
>
> aber
>
> [mm](\bruch{R_{2}^{2}}{4}-\bruch{R_{1}^{2}}{4})[/mm] ist doch nicht
> gleich
> [mm]\bruch{1}{4}*(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})*(R_{2}^{2}+R_{1}^{2})[/mm]
> oder??
>
> Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert kriegt man doch
> [mm]R^{4}[/mm] - Terme und das passt ja nicht.
>
> Lg
> SirBigMac
>
Hallo,
Die Umformung passt tatsächlich nicht.
Wenn du aber auf der rechten Seite die Quadrate weglässt, passt es.
Es gilt:
[mm] \rho*2*\pi*h*(\bruch{R_{2}^{2}}{4}-\bruch{R_{1}^{2}}{4})=\rho*2*\pi*h*\bruch{1}{4}*(R_{2}-R_{1})*(R_{2}+R_{1})
[/mm]
(nach der 3. binomischen Formel)
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Do 07.09.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hey du!
Da hat sich bei meiner Korrektur offensichtlich auch der Fehlerteufel eingeschlichen!
Nach der Integration heißt es natürlich
$ [mm] \rho\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}h\cdot{}(\bruch{R_{2}^{4}}{4}-\bruch{R_{1}^{4}}{4})=\rho\cdot{}2\cdot{}\pi\cdot{}h\cdot{}\bruch{1}{4}\cdot{}(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})\cdot{}(R_{2}^{2}+R_{1}^{2}) [/mm] $
Und dann passt das!
Sorry, ich werds in meiner Antwort auch gleich ändern!
Lg, Kübi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Di 05.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo an Kuebi und Sir
Du hast natürlich recht Kuebi! Danke für die Verbesserung!
Gruss leduart
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