matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesTrägheitssatz.Sylvester.Gram-S
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Trägheitssatz.Sylvester.Gram-S
Trägheitssatz.Sylvester.Gram-S < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Trägheitssatz.Sylvester.Gram-S: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:58 Di 20.03.2012
Autor: Foto

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, die ich in einer Klausur gesehen habe, die ich leider nicht lösen kann.
Sei [mm] A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 } [/mm]
Seien die Bezeichnungen wie im Trägheitssatz von Sylvester gewählt und sei [mm] V=(R^{3}). [/mm] Die Bilinearform b wird bestimmt durch b=v*Aw, wobei v,w
[mm] \in [/mm] V.
a) Bestimmen Sie jeweils Unterräume [mm] V_{+}, V_{-} [/mm] und [mm] V_{0} [/mm] mit [mm] V=V_{+}\odot V_{-} \odot V_{0} [/mm] für die Bilinearform b, indem Sie Basen [mm] B_{+} [/mm] ; [mm] B_{-} [/mm] ; [mm] B_{=} [/mm] für [mm] V_{+}, V_{-} [/mm] und [mm] V_{0} [/mm] angeben.

b) Sei [mm] B=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm]  
Bestimmen Sie die Gram-Matrix [mm] G_{B} [/mm] (b) von b bzgl. der Basisi B.

Ich kann diese Aufgabe gar nicht lösen, aber ich befürchte, dass so eine Aufgabe auch bei uns in der Klausur vorkommen wird.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

        
Bezug
Trägheitssatz.Sylvester.Gram-S: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Di 20.03.2012
Autor: fred97


> Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, die ich in einer Klausur
> gesehen habe, die ich leider nicht lösen kann.
>  Sei [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 }[/mm]
>  
> Seien die Bezeichnungen wie im Trägheitssatz von Sylvester
> gewählt und sei [mm]V=(R^{3}).[/mm] Die Bilinearform b wird
> bestimmt durch b=v*Aw, wobei v,w
> [mm]\in[/mm] V.
> a) Bestimmen Sie jeweils Unterräume [mm]V_{+}, V_{-}[/mm] und [mm]V_{0}[/mm]
> mit [mm]V=V_{+}\odot V_{-} \odot V_{0}[/mm] für die Bilinearform b,
> indem Sie Basen [mm]B_{+}[/mm] ; [mm]B_{-}[/mm] ; [mm]B_{=}[/mm] für [mm]V_{+}, V_{-}[/mm] und
> [mm]V_{0}[/mm] angeben.
>  
> b) Sei [mm]B=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
>  
> Bestimmen Sie die Gram-Matrix [mm]G_{B}[/mm] (b) von b bzgl. der
> Basisi B.
>  
> Ich kann diese Aufgabe gar nicht lösen, aber ich
> befürchte, dass so eine Aufgabe auch bei uns in der
> Klausur vorkommen wird.
>  Ich hoffe ihr könnt mir helfen.


zu a)

Wenn Du Dir die definitionen von [mm] V_{+}, V_{-} [/mm] und [mm] V_{0} [/mm] vornimmst, ist es doch garnicht so schwer Basen für diese Räume zu finden. Was hast Du schon getan ? Wo klemmts ?

Zu b) Hier gilt ähnliches. Nimm Dir die Def. Gram-Matrix her, berechne ein paar Skalarprodukte und baue diese zur gewünschten Matrix zusammen.

FRED

Bezug
                
Bezug
Trägheitssatz.Sylvester.Gram-S: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 Di 20.03.2012
Autor: Foto

Hallo, danke erstmal für die schnelle Antwort.
Also muss ich bei b) das so machen:
Sei [mm] v1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0},v2= \vektor{1 \\ 1 \\ 0},v3= \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm]  
Dann berechne ich [mm] v1^{t}*A*v1=(0,1,0)*A*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}= [/mm] 1
[mm] v1^{t}*A*v2=(0,1,0)*A*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=0 [/mm] und das jetzt so weiter
Dann erhält man so die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Stimmt das so?
und bei der a) V{0} ist doch ein Vektor aus dem Kern oder? hier z.B.
[mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm]
Stimmts?
Bei [mm] V_{+},V_{-} [/mm] weiß ich nicht genau was ich machen soll. Muss ich hierfür die Eigenwerte berechnen und dann für [mm] V_{+} [/mm] einen positiven Eigenwert aussuchen und dann den Eigenraum zu diesem positiven Eigenwert berechnen und das ist dann [mm] V_{+}. [/mm]
Dasselbe mit [mm] V_{-} [/mm] und einem negativen Eigenwert. Kann ich eigentlich dann für [mm] V_{0} [/mm] den Eigenraum zum Eigenwert 0 nehmen und dann habe ich [mm] V_{0}???? [/mm]

Gruß

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, die ich in einer Klausur gesehen habe, die ich leider nicht lösen kann.
Sei [mm] A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 } [/mm]
Seien die Bezeichnungen wie im Trägheitssatz von Sylvester gewählt und sei [mm] V=(R^{3}). [/mm] Die Bilinearform b wird bestimmt durch b=v*Aw, wobei v,w
[mm] \in [/mm] V.
a) Bestimmen Sie jeweils Unterräume [mm] V_{+}, V_{-} [/mm] und [mm] V_{0} [/mm] mit [mm] V=V_{+}\odot V_{-} \odot V_{0} [/mm] für die Bilinearform b, indem Sie Basen [mm] B_{+} [/mm] ; [mm] B_{-} [/mm] ; [mm] B_{=} [/mm] für [mm] V_{+}, V_{-} [/mm] und [mm] V_{0} [/mm] angeben.

b) Sei [mm] B=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm]  
Bestimmen Sie die Gram-Matrix [mm] G_{B} [/mm] (b) von b bzgl. der Basisi B.

Ich kann diese Aufgabe gar nicht lösen, aber ich befürchte, dass so eine Aufgabe auch bei uns in der Klausur vorkommen wird.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Bezug
                
Bezug
Trägheitssatz.Sylvester.Gram-S: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:04 Di 20.03.2012
Autor: Foto

Hallo, danke erstmal für die schnelle Antwort.
Also muss ich bei b) das so machen:
Sei [mm] v1=\vektor{0 \\ 1 \\ 0},v2= \vektor{1 \\ 1 \\ 0},v3= \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm]  
Dann berechne ich [mm] v1^{t}*A*v1=(0,1,0)*A*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}= [/mm] 1
[mm] v1^{t}*A*v2=(0,1,0)*A*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=0 [/mm] und das jetzt so weiter
Dann erhält man so die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Stimmt das so?
und bei der a) V{0} ist doch ein Vektor aus dem Kern oder? hier z.B.
[mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm]
Stimmts?
Bei [mm] V_{+},V_{-} [/mm] weiß ich nicht genau was ich machen soll. Muss ich hierfür die Eigenwerte berechnen und dann für [mm] V_{+} [/mm] einen positiven Eigenwert aussuchen und dann den Eigenraum zu diesem positiven Eigenwert berechnen und das ist dann [mm] V_{+}. [/mm]
Dasselbe mit [mm] V_{-} [/mm] und einem negativen Eigenwert. Kann ich eigentlich dann für [mm] V_{0} [/mm] den Eigenraum zum Eigenwert 0 nehmen und dann habe ich [mm] V_{0}???? [/mm]

Gruß



Bezug
                        
Bezug
Trägheitssatz.Sylvester.Gram-S: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:14 Mi 21.03.2012
Autor: Foto

Hallo, die Zeit ist um, aber ich würde gerne immer noch wissen, ob meine Antwort stimmt.


Gruß

Bezug
                        
Bezug
Trägheitssatz.Sylvester.Gram-S: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Fr 23.03.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]